（2010河北省）24．（本小题满分10分）
在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥ BD； （3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3，求
N
解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
A
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO． 又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE， ∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
O 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．
A N
1 C 图4 E B F
M D 2 N
1 O C 图15-3
B
图15-2
D 2 M
O A
1 C
N
图15-1
D 2 B
M
BDACM D 2
O A 1 B
的值．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD． （3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
D M
又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC．
E B
图5
2 ∴
BEAC?BOAO．
A N
BDAC1 O C
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得 BE = BD．∴
?k．
（2010河南）4．如图，△ABC中，点DE分别是ABAC的中点，则下列结论：①BC=2DE； ②△ADE∽△ABC；③
ADAE?ABAC．其中正确的有（ ）
A（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个 A
DEBC（第4题）
(苏州2010中考题28)．(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，
BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)． (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ▲ ． (填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程．
答案： 28．（1）变小. （2）问题①：
解：∵?B?90°，?A?30°，BC?6， ∴AC?12.
∵?FDE?90°，?DEF?45°，DE?4， ∴DF?4.
连结FC，设FC∥AB. ∴?FCD??A?30°. ∴在Rt△FDC中，DC?43. ∴AD?AC?DC?12?43. 即AD??12?43?cm时，FC∥AB. 问题②：
解：设AD?x，在Rt△FDC中，FC2?DC2?FD2??12?x?2?16.
（Ⅰ）当FC为斜边时， 由AD2?BC2?FC2得，x2?62??12?x?2?16，x?316.
（Ⅱ）当AD为斜边时， 由FC2?BC2?AD2得，?12?x?2?16?62?x2，x?496?8（不
意，舍去）.
（Ⅲ）当BC为斜边时， 由
AD2?FC2?BC2得
，
x2??1?22?，x2?1， x26?x6?1?2??144?248?0，
∴方程无解.
符合题
?另解：BC不能为斜边.
∵FC?CD，∴FC?AD?12.
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6. ∴BC不能为斜边.
∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当x?问题③：
解法一：不存在这样的位置，使得?FCD?15°. 理由如下：
假设?FCD?15°.
由?FED?45°，得?EFC?30°. 作?EFC的平分线，交AC于点P， 则?EFP??CFP??FCP?15°，
316cm时，经线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形.
∴PF?PC，?DFP??DFE??EFP?60°． ∴PD?43，PC?PF?2FD?8. ∴PC?PD?8?43?12.
∴不存在这样的位置，使得?FCD?15°. 解法二：不存在这样的位置，使得?FCD?15°. 假设?FCD?15°，AD?x. 由?FED?45°，得?EFC?30°. 作EH?FC，垂足为H. ∴HE?12EF?22，
CE?AC?AD?DE?8?x，
且FC2??12?x?2?16.
∵?FDC??EHC?90°，?DCF为公共角， ∴△CHE∽△CDF. ∴
ECEFC?HDF.
又?HE2?22?2??DF??????4???1. ??22∴?EC1??FC?. ???22即?8?x???112?x?2?162.
整理后，得到方程x2?8x?32?0. ∴x1?4?43?0（不符合题意，舍去）， x2?4?43?8（不符合题意，舍去）.
∴不存在这样的位置，使得?FCD?15°. A D
16. （上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则__3________.
BC图2
DB
=
（2010·绵阳）10．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点． 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ A ）．
A．1 : 2 B．1 : 3 C．2 : 3 D．11 : 20
B D
A
C C
案：145?
A O G B D F G 1 E
H （2010·绵阳）14．如图，AB∥CD，∠A = 60?，∠C = 25?，G、H分别为CF、CE的中点，则∠1 = ．答
（2010·浙江湖州）15．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，
且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．答案：?9,0?
F在AC上，
(1)求证：△ADF∽△CAF
（2）当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积
【答案】证明： （1）在梯形ABCD中，AD∥BC ∴∠DAF=∠ACE ∵∠D FC=∠AEB
∠DFC=∠DAF+∠ADF, ∠AEB= ∠A C E+∠CAE ∴∠ADF=∠CAE ∴△ADF∽△CAF
(2) ∵AD=8,DC=6，∠ADC=90°， ∴AC=10
又∵F是AC的中点，∴AF=5 ∵△ADF∽△CAF ∴
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y A1 A B1 B C1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 第15题
2．（2010，安徽芜湖）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上，点
ADAF?CACE ∴
85?10CE ∴CE=
254
∵E是BC的中点 ∴BC=∴直角梯形ABCD的面积=
25212×(
252+8)×6=
1232
⌒3．（2010，安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。
（1）求证：PM=PN； （2）若BD=4,PA=
32AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
【答案】（1）证明：连结OM,∵ MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP ∴∠OMD +∠DMP=90°
∵OA⊥OB，∠OND +∠ODM=90°
∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD ∴∠DMP=∠MNP ∴PM=PN
（2）解：设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=∴PO=5
∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=
32OA=3
12BC
∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO +∠MOP=90° ∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP=90° ∴△OMP∽△BEO ∴
OMOP?BEBO ∴
25?BE2,∴BE=
45 ∴BC=
85
的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于
4．（2010，浙江义乌）如图，一次函数y?kx?2的图象与反比例函数y?点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D， 且S△PBD＝4，
OCOA?12mx．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x?0时，一次函数的值大于反比例
函数的值的x的取值范围.
y B P D C O A x 【答案】（1）在y?kx?2中，令x?0得y?2 ∴点D的坐标为（0，2） （2）∵ AP∥OD ∴Rt△PAC ∽ Rt△DOC ∵
OCOAODAP??12
∴
OCAC?13
∴AP＝6
又∵BD＝6?2?4 ∴由S△PBD＝4可得BP＝2
∴P(2，6) 把P(2，6)分别代入y?kx?2与y?（3）由图可得x＞2
mx可得一次函数解析式为：y＝2x+2 ，反比例函数解析式为：y?12x
2010中考数学相似三角形精选
