2010中考数学相似三角形精选 

2010数学中考相似三角形精选

（2010哈尔滨）１．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝

2MD；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。

（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝27，

求tan∠ACP的值．

（2010珠海）２．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1) 求证：△ADF∽△DEC (2) 若AB＝4,AD＝3

3,AE＝3,求AF的长.

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC CD=AB=4

又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE= ∵△ADF∽△DEC ∴

26．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从

O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动

时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

4当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

ADDE?AFCDAD2?AE2?(33)?322?6

∴

336?AF4 AF=23

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?12x?bx?c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，

解：(1) ∵CQ＝t，OP=2t，CO=8 ∴OQ=8－t

22∴S△OPQ＝

12(8?t)?2t??t?42t（0＜t＜8） ???????3分

2(2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ

＝8?82?12?82t?12?8?(82?2t)＝322 ???? 5分

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322 ????6分

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90° 又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ??????7分

∴

8?t82?2t?2t8解得：t＝4

经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时P（42，0） ∵B（82，8）且抛物线y?14214x?bx?c经过B、P两点，

2x?8 ???????8分

2∴抛物线是y?设M（m, x?22x?8，直线BP是：y?14m?22m?8)

22m?8）、N(m，

∵M在BP上运动 ∴4∵y1?∴当42?m?82 14x?22x?8与y2?22x?8交于P、B两点且抛物线的顶点是P

2?m?82时，y1?y2 ????????????9分

14(m?62)?2 ∴当m?62时，MN有最大值是2

2,4)、H(62,7)

2∴MN?y1?y2＝?∴设MN与BQ交于H 点则M(6∴S△BHM＝

12?3?22＝32 2?32)＝3:29

∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝32:(32∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29． ???????10分

(2010湖北省荆门市)23．(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：AC·CD＝PC·BC；

(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

CDOBAP第23题图

答案23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°． 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴

ACBC． ?CPCDACOEPD∴AC·CD＝PC·BC；??????????????????3分

(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．

B2∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝22又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝从而PC＝PE＋EC＝

2．

32324BEBC)＝．∴PE＝＝(．

42第23题图2 3tan?CPB721424．由(1)得CD＝PC＝?????????????7分 233(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝∴S△PCD＝

14PC·CD．由(1)可知，CD＝PC． 232PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值； 3250×52＝．????????????10分 33而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝

（2010年眉山）25．如图，Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ? 交斜边于点E，CC ? 的延长线交BB ? 于点F．

（1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=?，∠CAC ? =?，试探索?、?满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

CAEBC'FB'答案：25．（1）证明：∵Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ?，AB=AB ?，∠CAB=∠C ?AB ? ………………（1分） ∴∠CAC ?=∠BAB ?

∴∠ACC ?=∠ABB ? ……………………………………（3分） 又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE ……………………………………（4分）

（2）解：当??2?时，△ACE≌△FBE． …………………（5分） 在△ACC?中，∵AC=AC ?， ∴?ACC'?180???CAC'2?180???2?90??? ………（6分）

在Rt△ABC中，

∠ACC?+∠BCE=90°，即90?????BCE?90?， ∴∠BCE=?． ∵∠ABC=?，

∴∠ABC=∠BCE ……………………（8分） ∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE，

∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）

CAEBC'FB'1、（2010年杭州市）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.

(1) 求证：△ABD∽△CAE；

(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长. 答案：

(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ?DBA = ?CAE,

又∵

ABAC?BDAE?3, ∴ △ABD∽△CAE.

(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD ，

∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ∴?D =90°, 由（1）得 ?E =?D = 90°, ∵ AE=

13BD , EC =

13AD =

232BD , AB = 3BD ，

∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2

= (3BD +

13BD )2 + (

223BD)2 =

1089BD2 = 12a2 ,

C ∴ BC =23a .

（2010年天津市）（17）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上

的点，AD?BE，AE与CD交于点F，AG?CD于点G， AGAF32F A E G

D B

第（17）题

．

则的值为 （2010宁夏16．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 ②③ ．（只填序号）

① 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ② 位似图形一定有位似中心；

③ 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； ④

位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

（2010山西26．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1

所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请

求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

y M C D E N O （第26题 图1） B A F x

26. [解] (1) 如图1，作BH?x轴于点H，则四边形OHBC为矩形， ∴OH=CB=3，∴AH=OA?OH=6?3=3， 在Rt△ABH中，BH=

y M C D N O G H A F P E BA2?AH2=(35)2?32=6，

B ∴点B的坐标为(3，6)。

(2) 如图1，作EG?x轴于点G，则EG//BH， ∴△OEG~△OBH，∴

== ，又∵OE=2EB， OHBHOBOE22OGEG ∴=，∴==，∴OG=2，EG=4，∴点E的坐标为(2，4)。

333OB6OEOGEGx 圖1

?2k?b?41 又∵点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y=kx?b，则?，解得k= ?，

2?b?5 b=5。∴直线DE的解析式为：y= ?

12x?5。

(3) 答：存在。

? 如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形。作MP?y轴于点P， 则MP//x轴，∴△MPD~△FOD，∴ 又∵当y=0时，?

MPOF=

PDOD=

MDFD。

12x?5=0，解得x=10。∴F点的坐标为(10，0)，∴OF=10。

2 在Rt△ODF中，FD=OD ∴MP=2

?OF2=52?102=55，∴

MP10=

PD5=

555，

5，PD=5。∴点M的坐标为(?25，5?5)。

∴点N的坐标为(?25，5)。

? 如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM 为菱形。延长NM交x轴于点P，则MP?x轴。 ∵点M在直线y= ? (a，?

2

y C D P E 12x?5上，∴设M点坐标为

B N 12a?5)，在Rt△OPM中，OP 2?PM 2=OM 2，

M O P A F x ∴a?(?

a?5)=5，解得a1=4，a2=0(舍去)， 2 ∴点M的坐标为(4，3)，∴点N的坐标为(4，8)。 ? 如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为 菱形。连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相 垂直平分，∴yM=yN=OP=

122

圖2

y C D N P O B M x A F 52，∴?

12xM?5=

52，∴xM=5，

E ∴xN= ?xM= ?5，∴点N的坐标为(?5，

52)。

综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(?2 N2(4，8)，N3(?5，

5，5)，

52圖3

)。