三阶幻方的构造方法
洛阳市王城公园西门内屹立着一椭圆形棕色巨石，那就是河图洛书碑．
所谓洛书，指的是用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字，组成三行三列的方阵．它的每行每列及两条对角线上的三个数字的和都等于15.古时候称九宫图 ，数学上称为三阶幻方．这一问题有许多解法．这里介绍七种解法．
一 凑
这个问题介绍给小孩子们，他们会用九张纸片，分别写上九个数字〔或者用九张扑克牌〕在桌〔地〕面上摆出来答案．此法是＂凑＂出来的． 二 转
第一步把九个数字摆成图一．第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三．这个方法归结为＂一排，二转，三对换＂．这个方法可以让孩子作游戏，也是有趣的．
123412618456 753 753 789896294图一＂排＂ 图二 ＂转＂ 图三 ＂对换＂ 三 杨辉法
我国古代数学家在＂续古摘奇算法＂中，总结洛书幻方的构造方法时写到：＂九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出＂具体作法如图四――图七．
1478995623 784925613
图四 九子排列 图五 上下对易
618 357 753
29486142 图六 左右相更 图七 四维挺出
四 罗伯法
［1］ 中所举的罗伯法也可以用来作三阶幻方．罗伯法是这样讲的．
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1居上行正中央，依次斜填且莫忘，上出框往下写，右出框时左边放．排重便在下格填，右上排重一个样．罗伯法排出的三阶幻方见图八．
381627626357 159 951 492439487图八 图九 图十
巴舍法
先画一个凸阶梯形，先填成图九，然后按＂上移下，下移上，左移右，右移左＂〔作出的结果与杨辉法完全相同〕进行调整成为图十．
五 行列交会法
首先将九个数字排成图十一，然后将中间行中间列不动，作为幻方的左右主对角线，如图十二，因每一个数都是一条左对角线与一条右对角线的交点．所以其它每一个数的行列位置按照：＂左对角线与中间列的交点的行为行，右对角线与中间行的交点的列为列＂的法那么确定．作出的结果如图十三．
123456 7894582
6图十一 图十二
492x1357 x4816x6x2x5x8x3x6 x9图十三 图十四 六 数学解法
设图十四构成三阶幻方，列出方程组
...(1)?x1?x2?x3?15..........?x?x?x?15............(2)56?4?x7?x8?x9?15............(3)?..(4)?x1?x4?x7?15.......... ?..(5)?x2?x5?x8?15..........?x3?x6?x0?15............(6)?..(7)?x1?x5?x9?15..........?x?x?x?15...........(8)57?3由(7)+(8)+(2)=(4)+(6)+3x5知30?3x5?45得x5?5
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由(1)+(2)得x2?x4?15?x5?2x1.....x5?5代入 得x2?x4?20?2x1.....(9)
假设x1?1 那么x2?x4?18矛盾 所以x1?1
假设x1?3那么x2?x4?14那么只有x2?6,或x4?8或x2?8或x4?6只考虑其中一种 以
x1?3,x2?6代入得x3?6 矛盾 所以x1?3,
令x1?2 代入〔9〕得x2?x4?16 那么只有x2?7,或x4?9 或x2?9,或x4?7 不妨取
x2?9,则x4?7.
以x1?2,x2?9代入（1)得x3?4 以x1?2,x2?7代入（4)得x3?6 以x1?2,x5?5代入（7)得x9?8 以x2?9,x5?5代入（5)得x8?1 以x4?7,x5?5代入（1)得x6?3 从而得到三阶幻方的解．
七 奇偶分析法
在＂六＂中得到x5?5以后，将其代入(2),(5),(7),(8)得到：
?x4?x6?x?x?28??x1?x9??x3?x7?10.........(10)?10.........(11)
?10.........(12)?10.........(13)由以上四个方程可以看出x4与x6,x2与x8,x1与x9,x3与x7的奇偶性相同，又幻方交换一三两行后仍然是幻方，交换一三两列后仍然是幻方，所以四个角的奇偶性是相同的．今断言，四个角上的数字不能是奇数，如果四个角上的数字是奇数，那么x4 x6 ,x2 x8,只能是偶数于是x1＋x2?x3 ?奇＋偶＋奇?15矛盾．所以x1. x9 ,x3 .x7只能是偶数．由(12),(13)可知，而且只有2+8,4+6,不妨取
x1＝2,则. x9＝8 取,x3?4 则 .x7?6随后便可确定x4x6,x2.x8,的值．
参考材料：
［1］张君达 ?小学数学奥林匹克数学专题讲座? 北京师范学院出版社 1987年北京版 第24页
中师教育研究 1995年第二期
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三阶幻方的构造方法
