第一讲 不等式和绝对值不等
1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则下列不等式中一定成立的是( ) A．|x－y|＜ε B．|x－y|＜2ε C．|x－y|＞2ε
D．|x－y|＞ε
解析：|x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε. 答案：B
2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( ) A．|a＋b|＞a－b C．|a＋b|≤|a|＋|b|
B．2ab≤|a＋b|(ab＞0)
?ba?
D.?a＋b?≥2 ??
解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立． 答案：A
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )
A．5 C．8
B．4 D．7
解析：由题意得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：A
|a|－|b||a|＋|b|
4．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关
|a－b||a＋b|系是( )
A．m>n C．m＝n
B．m |a|－|b| 解析：由绝对值三角不等式知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，所以 |a－b||a|＋|b|≤1≤. |a＋b| 答案：D 5．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．[－1，4] B．(－∞，－1]∪[4，＋∞) C．(－∞，－2)∪[5，＋∞) D．[－2，5] 解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 答案：A 二、填空题 qq 6．“|x－A|＜且|y－A|＜”是“|x－y|＜q”的________条件． 22qq 解析：因为|x－y|＝|(x－A)－(y－A)|≤|x－A|＋|y－A|＜＋＝q. 22所以充分性成立． qq反之若|x－y|＜q不能推出|x－A|＜且|y－A|＜成立． 22答案：充分不必要 7．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：设f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值． 因为|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1， 即f(x)max＝1，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 8．x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________． 解析：|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1， |y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1， 所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2， 当且仅当x∈[0，1]，y∈[0，1]时，|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|取得最小值2， 而已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时x∈[0，1]，y∈[0，1]，所以x＋y∈[0，2]． 答案：[0，2] 三、解答题 |a2－b2||a||b| 9．已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－. 2|a|22证明：①若|a|>|b|， |a＋b||a－b||a＋b||a－b||a＋b||a－b| 左边＝＝≥＝ 2|a||a＋b＋a－b||a＋b|＋|a－b| 111＋|a＋b||a－b| . 1111因为≤，≤， |a＋b||a|－|b||a－b||a|－|b|112所以＋≤. |a＋b||a－b||a|－|b||a|－|b| 所以左边≥＝右边． 2②若|a|<|b|，左边>0，右边<0， 所以原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立． 10．(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． (2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4| 解：(1)法一 ||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， 所以－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. 所以ymax＝4，ymin＝－4. 法二 把函数看作分段函数． 4，x<－1，?? y＝|x－3|－|x＋1|＝?2－2x，－1≤x≤3， ??－4，x>3.所以－4≤y≤4.所以ymax＝4，ymin＝－4. (2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，则|x－3|＋|x－4| 当且仅当(x－3)(4－x)≥0， 即3≤x≤4时等号成立． 所以当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1. 所以a的取值范围为(－∞，1]． B级 能力提升 1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( ) A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不可能比较大小 解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2； 当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2. 答案：B 2．已知α，β是实数，给出三个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|； ②|α＋β|>5； ③|α|>22，|β|>22. 以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________________________________________． 解析：①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5. 答案：①③?② 3．设函数y＝|x－4|＋|x－3|，求： (1)y的最小值； (2)使y 解：(1)当x≤3时，y＝－(x－4)－(x－3)＝7－2x是减函数，所以y≥7－2×3＝1. 当3 当x≥4时，y＝(x－4)＋(x－3)＝2x－7是增函数，所以y≥2×4－7＝1.所以ymin＝1. (2)由(1)知y≥1.要使y (3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可． 所以amax＝1.
金版学案 数学·选修4-5（人教A版）练习：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式 Word版含解析
