由变形协调条件?B=0得FBx=
C F F
π
C1F/πF/2 F/π1/πF/2(e)
1/21/π1/2题5图
3、计算C点沿F力方向的位移?C
在相当系统上，有 0≤?≤
π2
：M(?)=?
FF
R(1?cos?)+Rsin?； 2π
在基本系统C点处沿F力方向加单位集中力，则 0≤?≤
π2
：M(?)=?
11
R(1?cos?)+Rsin? 2π
由单位载荷法，得
1
?C=
EI
2
MMs=??ｄ()()∫s
EI
3
π∫02
1?1?
FR2??(1?cos?)+sin??Rｄ?π?2?
2
=
FR
EI
?3π?8π?4?????8π??
2
6 结构如图a所示，AC=AD=BC=BD=a，已知各杆弯曲刚度EI相同。A、B点为刚
性连接，C、D点为铰连接。将C、D点用一弹簧相连，弹簧常数为2k。但由于弹簧短了?，强行相连后，在A、B点加力F。试问：当F为多大时，弹簧回复到其原长？
C B A D (a)
(b)
FFXF/2
(c)
M max
xXF/2
a F 题6图
解题分析：如果没有弹簧，该结构为静定的。加弹簧后，弹簧受的力未知，为一度静不定问题。由于弹簧短了?，所以在加F力之前，弹簧已受拉力；在加F力过程中，C、D两点间产生相向位移，弹簧所受拉力不断减小。当弹簧所受力为零时，弹簧即回复到原长。这时的F即为所求。
6
解：1、变形协调方程
由于左右对称，只取左半部分研究。将弹簧去掉，用弹簧所受的力的一半代替其作用，得相当系统如图b所示。设X、F作用下，C、D间相对位移为?1，则弹簧的伸长变形与?1之和应该等于?。所以变形协调方程为
(2X)(2k)+?X
1=? 或 k
+?1=? 2、计算弹簧受力X
以C为原点，沿CA建立x坐标系，则CA部分的弯矩为 M(x)=??F?2sin45°+Xcos45°?
??M(x)?
x，?X=xcos45° 2
CA部分的应变能为 VεAC=∫
aM(x)
0
2EI
ｄx， 左半部分结构的总应变能为 V∫
a
M2ε=2VεAC=2(x)02EI
dx 由卡氏第二定理，得
??Vε2a
1=?X=
EI
∫
0M(x)?M(x)?X
dx=2?FX?a3EI??4+2???
3 代入变形协调方程，得
6EIk??kFa3
X=
2ka3+6EI
刚架的弯矩图如图c所示，其中M6EIk?a+3EIFamax=
22a3
k+62EI
。
3、计算弹簧回复到其原长时的F的大小
令X=0，即6EIk??kFa32ka3+6EI=0，得F=6EI?
a3
7
超静定问题典型习题解析
