北京大学2018年博雅计划数学试卷
选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
k?1. 设n为正整数，Cnn!0122018?3C2018?5C2018?...?4037C2018为组合数，则C2018等于（ ）
k!(n?k)!2018A. 2018?22018 B. 2018！ C. C4036 D. 前三个答案都不对
【答案】D 解析：
?(2k?1)Ck?012018nkn?2?kC??C?2?nCknknk?0k?0k?1201820182018k?0nnnk?1n?1??C?2n?Cknk?0k?1k2018nnk?1n?1k??Cn， k?0n?C02018?3C?5C22018?...?4037C??(2k?1)C?2?2018??Ck?12018k?12017k??C2018 k?02018?4036?22017?22018?2019?22018，故选D。
2. 设a，b，c为非负实数，满足a+b+c=3，则a+ab+abc的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 32 D. 前三个答案都不对 【答案】B
?(1?b?c)2??(4?a)2?解析：a?ab?abc?a(1?b(1?c))?a?1???a?1??，对其求导得到a?2时取
44????最大值为4。
3. 一个正整数n称为具有3-因数积性质若n的所有正因数的乘积等于n3，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）
A. 55 B. 50 C. 51 D. 前三个答案都不对 【答案】C
1
解析：设n的所有正因数的乘积为T，即T?n3。
n?1显然符合题意；下面证明当n?2时，正整数n的质因数的个数最多为2：假设n的质因数
?k?1?2p2...pk的个数大于或等于3，即n的全部质因数为p1,p2,...,pk(k?3)，并设n?p1，则n的所
有正因数的乘积中，pi?i(i?1,2,...k)至少在pi?i,pi?ip1,pi?ip2,...,pi?ipi?1,pi?ipi?1...,pi?ipk,pi?ip2...pk这
?k4?1?2p2...pk)?n4，这与题意T?n3些因子中出现，即pi?i出现的次数大于或等于4，这样T?(p1矛盾，所以假设不成立，即n的质因数的个数最多为2。 若n只有一个质因数，设n?p，则T?p?p?...?p?p数p?2或3满足n?400；
若n有两个质因数，设n?pq(p?q,???)，此时T?p??(1??)?(??1)2?2?(1??)?2?n3?p3????5，此时只有质
q(1??)?(??1)2?n3?p3?q3?，解
得??2,??1，即n?p2q：p取2时q有24个取值，p取3时q有13个取值，p取5时q有5个取值，p取7时q有3个取值，p取11时q有2个取值，p取13时q有1个取值； 综上，所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。
4. 已知复数z1?sin??2i，z2?1?icos?，则
A. 2 【答案】B
解析：z1?iz2?sin??cos??3i?|z1?iz2|2?10?sin2?，
14-z1?iz2z1?iz22的最小值为（ ）
B. 22 C. 23 D. 前三个答案都不对
z1?iz2?sin??cos??i?|z1?iz2|?2?sin2?，
?14-z1?iz2z1?iz22?14?(10?sin2?)2?2?sin2?2???2?sin2??22，取等条件为：
2?sin2?2?sin2?2?sin2?2?2?sin2??sin2??0。
2?sin2?
5. 设A是不超过2018的正整数组成的集合，对于正整数k，用ak表示所有可能的A中k个数
2
乘积的倒数之和，则a2?a4?...?a2018的值为（ ）
A. 1 【答案】C
B.
20192017 C. 22D. 前三个答案都不对
1111232019解析：a1?a2?a3?...?a2018?(1?)(1?)(1?)...(1?)?1???...??1?2018，
12320181220181111?a1?a2?a3?...?a2017?a2018?(1?)(1?)(1?)...(1?)?1??1，
12320182018?12017两式相加即得a2?a4?...?a2018?。 ?22
6. 已知实数a,b,c成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-3，2），点N的坐标为（2，3），过点P作直线ax+by+c=0的垂线，垂足为点M，则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是（ ）
A. 10 【答案】A
解析：由等差中项性质得a?c?2b，可见直线ax+by+c=0过定点Q(1,?2)，设垂足M(x0,y0)，
B. 62 C. 42
D. 前三个答案都不对
uuuuruuuur2则PM?QM?PM?QM?0?(x0?1)2?y0?8，即点M在圆T：(x?1)2?y2?8上， 点N到圆心T的距离|NT|?32，所以|MN|max?|MN|min?(|NT|?22)(|NT|?22)?10。
a1,a2,...,a2018互异，7. 设a1,a2,...,a2018,b1,b2,...b2018是4036个实数，满足对任意的i都（1?i?2018）1?j?2018）有(ai?b1)(ai?b2)...(ai?b2018)=2018，则对任意的j（
(a1?bj)(a2?bj)...(a2018?bj)的值为（ ）
A. 2018 【答案】B
解析：由?1?i?2018,(ai?b1)(ai?b2)...(ai?b2018)?2018恒成立可得：
f(x)?(x?b1)(x?b2)...(x?b2018)?2018?(x?a1)(x?a2)...(x?a2018)，
B. -2018 C. 不能确定 D. 前三个答案都不对
上式两边令x??bj即得(a1?bj)(a2?bj)...(a2018?bj)??2018。
3
8. 用[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[π]=3,[-π]= -4. 设n为正整数，用an表示当x??0,n?时，函数f(x)?[x[x]]的值域中的元素的个数，则使得
A. 63 【答案】A
解析：令x?k?r(k?Z且0?k?n?1,0?r?1)，当k?0时x[x]?0；k?1时，则
k2?x[x]?(k?r)k?k2?k，x[x]有k个取值；?an?1?1?2?...?n?1?1?an?2018最小的n的取值为（ ） n D. 前三个答案都不对
B. 1009 C. 2018
n(n?1)， 2an?2018n2?n?4038140381??(n??1)?(24038?1)，当n?[4038]或[4038]?1时所以
n2n2n2a?2018a64?2018an?2018最小，而[4038]?63，63，故n=64时最小，选D。 ?n6364
119. 已知?ABC的面积为1，D,E 分别为边BC,CA上的点，且BD?BC,CE?CA,AD和BE交
33于点P，则四边形PDCE的面积是（ ）
A.
2 9B.
28 C. 721 D. 前三个答案都不对
【答案】B 解析：
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuur2uuurAP?AB?BP?AB??BE?AB??(BC?CE)?AB??(AC?AB?AC)?(1??)AB??AC，
33uuuruuuruuur1uuur1uuurr1uuur2uuu3又AP??AD??(AB?AC?AB)??AB??AC。比较两式得??，
33337316612所以SPDCE?S?BCE?S?BDP?S?BCE???S?BCE?S?BCE??S?ABC?。
737737
4
x2y2?1，则x2?y2?2y?1?x2?y2?2x?1的最小值为（ ） 10. 设实数x,y满足?54A. 25 【答案】C
B. 25-2 C. 25-2 D. 前三个答案都不对
x2y2?1上动点M(x,y)到定点N(0,1)与定解析：x?y?2y?1?x?y?2x?1表示椭圆?542222点F(1,0)的距离之和，F为椭圆右焦点，设左焦点为F'(?1,0)，则
x2?y2?2y?1?x2?y2?2x?1?|MF|?|MN|?2a?|MF'|?|MN|?2a?|F'N|?25?2。
11. 设关于x的方程x2?2ax?a?2ax?1?0有3个互不相同的实根，则实数a的取值范围是（ ）
??? A. ?1，-1? C. ??1,0???0,1? D. 前三个答案都不对 B. ?-?，【答案】D
解析：x2?2ax?a?2ax?1?0?(x?a)2?2ax?a?1?a2?0?(x?a?a)2?2a2?1，
2?2a?1?0?2a2?1?0???2??，要使原方程有三个互不相等实根，则?a?2a?1?0或2x?a?a?2a?1??2?a?2a?1?0???2a2?1?0??2?a?2a?1?0，解得a?1，故选D。 ?2a?2a?1?0??
12. 把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列?an?(n?1)，例如，a1?2，a2?3，a3?5，
a4?6，…，则a2018的值为（ ）
A. 2061 【答案】C
B. 2062 C. 2063 D. 前三个答案都不对
解析：442?1936,452?2025,462?2116，即小于2018的数中共有44个完全平方数，所以
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