《购房中的数学问题》研究性学习报告
作者班级：广州市113中高一六班
研究小组成员：李俏俏 彭馨莹 许碧茹 陈伟芸 指导老师：李琼
（一）研究背景
在参加了数学研究性学习这个活动后，我们领悟到了数学在生活中的广泛应用，这使我们对生活中的数学问题很感兴趣，希望从熟悉的事物中理解，体会数学。于是，数学老师的鼓励下，我们小组对“购房中的数学问题”进行研究。
（二）研究目的意义
通过联系实际，从生活中出发进行研究，充分拓展数列的学习内容，以促进学生的对数列的理解，培养学生对学习数列的兴趣。提高学生运用数列知识来分析、运用多方面的数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力。
通过本课题的研究，探索提高学生的应用能力、理解能力和实践能力的新方法，全面提高学生的综合素质，培养创新型人材。 （三）研究方法
资料调查法、文献资料收集法、例题分析法、联系实际
（四）研究内容
在探究数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。
问题：某地一位居民为了改善家庭的住房条件，决定在2003年重新购房。某日，他来到了一个房屋交易市场，面对着房地厂商林林总总的宣传广告，是应该买商品房呢还是应该买二手房呢？他一时拿不定主意。以下是他的家庭状况以及可供选择的方案
家庭经家庭每月总收入3000元，也就是年收入3.6万元。现有存款6万元，但是必须留2万元-济状况 3万元以备急用。
1.买商品房：
2
预选方一套面积为80 m的住宅，每平方米售价为1500元 案 2.买二手房：
2
一套面积为110 m左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元。
购房还需要贷款。这位居民选择了一家银行申请购房贷款。该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：
申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%。购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%。还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为 本金部分=贷款部分÷贷款期季数，
利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）×季利率
准备工作：调查购房贷款的要求，建立数学模型。
提出问题：利用数列知识，根据以上购房贷款方式，预选方案1、2到底哪个是他的最佳选择？ 实验步骤： 方案1:如果首付3.6万（约为住房总价值的30%），贷款8.4万，季利率为 5.04%÷4=1.26%.以贷款期
为15年为例.
每季等额归还本金:
84000÷(15×4)=1400(元)
第一个季度利息:
84000×1.26%=1058.4(元)
则第一个季度还款额为
1400+1058.4=2458.4(元)
第二个季度利息:
(84000-1400×1)×1.26%=1040.76(元)
则第二个季度还款额为
1400+1040.76=2440.76(元)
……
第60个季度利息:
(84000-14000×59)×1.26%=17.64(元)
则第60个季度(最后一期)的还款额为
1400+17.64=1417.64(元)
可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为17.64元,其和为:
(1058.4?17.64)?60 ?32281.（元）215年中每个季度的还款额也成等差数列，公差2为17.64元，其和为：
方案2：因为首付4
万，季利率为5.04年为例。
每季等额归还本金： 第一个季度利息：
万，所以需要贷款10.2(2458.4?1417.64)?60?116281.（元）22÷4=1.26%.以贷款期为
102000÷（15×4）=1700（元） 102000×1.26%=1285.2（元）
则第一个季度还款额为：
1700+1285.2=2985.2（元）
第二个季度利息：
（102000-1700?1）?1.26%=1263.78（元）
则第二个季度还款额为：
1700+1263.78=2963.78（元）
……
第60个季度利息：
（102000-1700?59）?1.26%=21.42（元）
则第60个季度（最后一期）的还款额为
1700+21.42=1721.42（元）
可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为21.42元,其和为: (1285.2?21.42)?60?39198.6(元)还款额也成等差数列，公差为15年中每个季度的
221.42元，其和为：
（2985.2?1721.42）?60?141198.（元）6实验结果：建议这个居民采用方案
21，理由
如下：
（1） 因为这个居民每月的家庭总收入为3000元，那么每个月用于偿还购房贷款的金额为600~900元较为合适，每个季度为1800~2700元。 如果采用方案1，满足上述条件。
如果采用方案2，由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为a1=2985.2，公差为d=21.42的等差数列。若
an=2985.2+21.42（n-1）>2700，
则n<15.也就是说，当n<15（个季度）时，每个季度的还款额大于2700元，即在大于11年的时间内，偿还银行的钱占这个家庭收入的30%以上，显然给这个家庭生活造成了较大的负担。 （2）以贷款15年为例，方案2比方案1需要多支付利息
39198.6-32281.2=6917.4（元）
（3）方案2中的住房是旧房，使用年限较短。
实验反思： 把实际问题转化为数列的模型，再通过解不等式求得。
首先我们要弄清楚题意，了解数列的建立、数列的分析和解法，以及贷款的知识和不等式的解法。为了巩固和熟悉这方面知识，我们应该把问题结合到实际生活中，把抽象转为形象，对其做探究。 （五）研究过程
1.准备阶段（2010年5月2日-2010年5月6日） 学生分组，明确研究课题，拟定计划，多途径收集文献资料，选取和编制报告结构等。
2.实施阶段（2010年5月6日-2010年5月26日） 小组成员分配工作，首先了解购房中的数学，把收集的资料总结归纳。再根据各成员所收集的资料，进行研究讨论，对购房中的数学有更深的了解，并加强对其学以致用。
3.总结阶段（2010年5月26日-2010年6月1日）
利用数列思想解决生活中的优化问题
