线性代数超强的总结(不看你会后悔的)教案资料

线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

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线性代数超强总结

?A不可逆 ?A可逆 ??r(A)?n r(A)?n ????Ax?0只有零解 A????Ax??有非零解 ??0是A的特征值 ?A的特征值全不为零 ????A的列（行）向量线性相关 A????A的列（行）向量线性无关

?ATA是正定矩阵 ??A与同阶单位阵等价 ??A?p1p2???ps,pi是初等阵 n?????,Ax??总有唯一解向量组等价??具有相似矩阵?????反身性、对称性、传递性 矩阵合同??√ 关于e1,e2,???,en：

①称为

n的标准基，

n中的自然基，单位坐标向量；

②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④tr(E)=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

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√ 行列式的计算：

A??A??A??AB ① 若A与B都是方阵（不必同阶）,则

?B?B?B?A

?(?1)mnB?AB ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?a1n?a1n ③关于副对角线：

a2n?1?a2n?1?(?1)n(n?1)2a1na2nan1an1?an1?√ 逆矩阵的求法:

①A?1?A?A

②(AE)????初等行变换?(EA?1) ?ab??11?d??AB?T③??ATCT??cd???b?ad?bc???ca? ???CD?????BTDT? ????1?1a??a1??1a?11??1????④?a2a2??a??? ?2????????????a????n???1?an????an???1a1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3

1an???1a?2???

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?A1?⑤????A2?A1?1??????????An????1A2?1????? ?????An?1???AnA2A1???????????1????A1?1A2?1An?1??? ????√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn √ 设f(x)?amxm?am?1xm?1??a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1??a1A?a0E为A的一个多项式.

√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，AB的列向量为

r1,r2,?用A,B中简 ? 若??(b1,b2,,bn)T,则 A??b1?1?b2?2?bn?n?单的一个提,rs, ?即：AB的第i个列向量ri是A的列向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量；高运算速度? AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量.?? 则：ri?A?i,i?1,2,,s,即 A(?1,?2,???,?s)?(A?1,A?2,,A?s)√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

?A11?与分块对角阵相乘类似,即：A??????A22?B11???,B??????Akk?????B22?? ??Bkk???仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4

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?A11B11?AB??????A22B22??? ??AkkBkk??√ 矩阵方程的解法：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B 当A?0时,

（当B为一列时,初等行变换 (I)的解法：构造(AB)???? ?(EX) 即为克莱姆法则）(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，

T 用(I)的方法求出X，再转置得X√ Ax??和Bx??同解（A,B列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 判断?1,?2,,?s是Ax?0的基础解系的条件：

,?s线性无关； ,?s是Ax?0的解；

① ?1,?2, ② ?1,?2,③ s?n?r(A)?每个解向量中自由变量的个数.

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