高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词练习（含解
析）新人教A版选修21
课时过关·能力提升
基础巩固
1下列命题不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘零都等于零 B.每一个向量都有大小 C.自然数都是正整数 D.存在没有最大值的二次函数
解析:选项A中“任何一个”、选项B中“每一个”均是全称量词,选项C中暗含全称量词“所有的”,故A,B,C项都是全称命题.选项D中“存在”是存在量词,故D项是特称命题. 答案:D
2下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,2>0 B.?x∈N,(x-1)>0 C.?x∈R,lg x<1 D.?x∈R,tan x=2 答案:B
3命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( ) A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.?x?(0,+∞),ln x=x-1 C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 答案:A
4命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )
x-1
*2
A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数
解析:由命题“所有实数的平方都是正数”为全称命题,则其否定为特称命题. 答案:D
5若命题p:“?x∈R,x-2x+m≠0”是真命题,则实数m的取值范围是( ) A.[1,+∞) C.(-∞,1)
B.(1,+∞) D.(-∞,1]
2
2
解析:依题意,方程x-2x+m=0没有实数根,则4-4m<0,解得m>1. 答案:B
6命题“?x0∈R答案:?x∈R,x-x+1≠0
7命题“?x0∈(1,2),满足不等为 .
解析:依题意,不等式x+mx+4<0在(1,2)上恒成立, 所以m<令f(x)=2
2
≥0”是假命题,则m的取值范围
,应满足m≤-5,
因为x∈(1,2),所以f(x)∈(-5,-4),要使不等式m<故实数m的取值范围是(-∞,-5]. 答案:(-∞,-5]
8下列语句是真命题的是 .(填序号)
①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等
答案:①
9对任意实数x,不等式2x>m(x+1)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:2x>m(x+1)恒成立也就是对?x∈R,mx-2x+m<0恒成立,考虑m是否为零.若为零,则原式化为-2x<0,显然不恒成立;若m≠0,则m<0,且Δ<0.
解:不等式2x>m(x+1)对任意x都成立,即不等式mx-2x+m<0恒成立. (1)当m=0时,不等式化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意. (2)当m≠0时,要使mx-2x+m<0恒成立,
2
2
2
2
2
2
m<-1.
综上可知,所求实数m的取值范围为(-∞,-1).
10已知命题p:“?x∈[1,2],x-a≥0”,命题q:“?x0∈
∧q”是真命题,求实数a的取值范围.
2
R
解:由p∧q是真命题,知p为真命题,q也为真命题. 若p为真命题,则a≤x对于x∈[1,2]恒成立. 所以a≤1.
若q为真命题,则关于x的方程x+2ax+2-a=0有实根,所以Δ=4a-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2. 综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.
能力提升
1命题“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( ) A.?x0∈R,f(x0)>0
B.?x0∈R,f(x0)≤0
2
2
2
C.?x∈R,f(x)>0 D.?x∈R,f(x)≤0
解析:该命题是特称命题,等价于“?x0∈R,f(x0)>0”.
答案:A
2已知命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 解析:由命题p为全称命题,则其否定(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,故选C. 答案:C
3命题“?x∈[1,2],x-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥4
B.a≤4
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p是( )
p应是特称命题,而(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0的否定为
C.a≥5 D.a≤5
解析:原命题等价于“a≥x对于任意x∈[1,2]恒成立”,得a≥4,这是命题成立的充要条件,因此该命题为真的一个充分不必要条件是a≥5. 答案:C
4已知下列四个命题:
p1:?x0∈(0,+∞)p2:?x0∈(0,1),l
p3:?x∈(0,+∞)p4:?x∈
其中的真命题是( ) A.p1,p3
B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
解析:当x∈(0,+∞)取x0
l
p1为假命题;
p2为真命题;
取x0当x∈答案:D
0
l
p3为假命题;
p4为真命题.
5下列特称命题是真命题的序号是 .
①有些不相似的三角形面积相等;②存在实数
x0,
解析:①为真命题,等底等高的两个三角形,面积相等,但不一定相似;②中对任意x∈
R,x+x+1
2
x0,②为假命题;③中当a>0时,
结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题.故选①③④. 答案:①③④
6当命题“?x∈R,sin x+cos x>m”和“?x0∈R,sin x0+cos x0>m”均为真命题时,m的取值范围是 .
解析:命题“?x∈R,sinx+cosx>m”为真命题,即不等式sinx+cosx>m恒成立, 因为(sinx+cosx)min=m<
命题“?x0∈R,sinx0+cosx0>m”为真命题,即不等式sinx+cosx>m有解, 因为(sinx+cosx)max
m
因此,当两个命题均为真命题时,实数m的取值范围是(-∞,答案:(-∞,
2
7若对?x∈R,ax+2x+1>0恒成立,求实数a的取值范围.
分析:由题意可知,对?x∈R,ax+2x+1>0恒成立.先考虑a=0的情况,再考虑a≠0的情况,可结合二次函数的图象解决此类问题.
解:由题意可得,?x∈R,ax+2x+1>0恒成立.
(1)当a=0时,ax+2x+1=2x+1>0,显然不恒成立,不合题意.
2
2
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高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词练习(含解析)新人教A版选修21
