2024届高三数学(新高考)一轮复习检测 (4)第四章综合过关规范限时检测

[考案4]第四章 综合过关规范限时检测

(时间：45分钟 满分100分)

一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．若复数z＝A．－2 C．1

[解析] 因为复数z＝

a

＋1为纯虚数，则实数a＝( A ) 1＋i

B．－1 D．2

aa?1－i?aa＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所1＋i?1＋i??1－i?22

aa

以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A． 22

2．(2024·武汉市调研考试)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝( D ) A．1－i 4

C.－i 3

B．1＋i 4D．＋i

3

[解析] 设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋a2＋b2

?a＋a2＋b2＝3，

＝3＋i，由复数相等可得?

?b＝1，选D.

→→，

3．(2024·江南十校联考)设D是△ABC所在平面内一点，AB＝2DC则( D ) 1→→→

A．BD＝AC－AB

2→3→→

C.BD＝AC－AB

2

1→→→

B．BD＝AC－AB

2→→3→D．BD＝AC－AB

2

?a＝4，

3解得??b＝1，

4

故z＝＋i.故

3

13

[解析] →BD＝→AD－→AB＝→AC＋→CD－→AB＝→AC－→AB－→AB＝→AC－→AB.故选D.

224．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos m，n则实数t的值为( B )

A．4

1

＝.若n⊥(tm＋n)，3

B．－4

1

9C．

49D．－

4

[解析] 由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m||n|·cos m，n(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.

→|＝4，|BC→|＝2，点P

5．(2024·江西省九江市期末)在矩形ABCD中，|AB

→|＝1，记a＝→满足|CPAB·→AP，b＝→AC·→AP，c＝→AD·→AP，则a，b，c的大小关系为( C )

A．a>b>c C．b>a>c

B．a>c>b D．b>c

1

＋|n|2＝t×3k×4k×＋

3

[解析] 以C为圆心，以CD，CB所在直线为x轴，y轴建立坐标系，则A(－4，－2)，B(0，－2)，D(－4,0)，设P(cos α，sin α)，

则a＝(4,0)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋16， b＝(4,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋2sin α＋20， c＝(0,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝2sin α＋4， ∵b－c＝2sin α＋4>0，∴b>a，

∵a－c＝4cos α－2sin α＋12＝25cos(α＋φ)＋12>0， ∴a>c，∴b>a>c.故选C.

6．(2024·四川成都外国语学校月考)设P是△ABC所在平面内的一点，若→→＋→→·→→|2＝|AC→|2－2BC→·→AB·(CBCA)＝2ABCP且|ABAP，则点P是△ABC的( A )

A．外心 C．重心

B．内心 D．垂心

→＋→→·→→＋→→)＝0，→

[解析] 由→AB·(CBCA)＝2ABCP，得→AB·(CBCA－2CP即→AB·[(CB→－→－→CP)＋(CACP)]＝0，

2

→→→

所以AB·(PB＋PA)＝0.设D为AB的中点， 则→AB·2→PD＝0，故→AB·→PD＝0. →|2＝|AC→|2－2BC→·→因为|ABAP， →＋→→－→→·→所以(ACAB)·(ACAB)＝2BCAP， →＋→→)＝0. 所以→BC·(ACAB－2AP

设BC的中点为E，同理可得→BC·→PE＝0， 所以P为AB与BC的垂直平分线的交点， 所以P是△ABC的外心．故选A．

7．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数

31

－i的“错位共轭”复数为( D ) 22

31

－i 62

B．－

33＋i 22

A．－

31

C.＋i 62

[解析] 解法一：由(z－i)(

33D．＋i 22

31131－i)＝1，可得z－i＝＝＋i，222231

－i22

所以z＝

33＋i. 22

313131

解法二：(z－i)(－i)＝1且|－i|＝1，所以z－i和－i是共轭

222222复数，即z－i＝

3133

＋i，故z＝＋i.故选D. 2222

二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

8．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( AB ) A．－2 C．0

B．2 D．2

3

[解析] 由a∥b知1×2－m2＝0，所以m＝±2.故选A、B.

9．(2024·山东部分重点中学新高三起点考试)已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值可以是( CD )

A．－2 C．1

B．－1 D．2

[解析] 复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1

10．设向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( CD ) A．若k<－2时，则a与b夹角为钝角 B．|a|的最小值为2

C．与b共线的单位向量只有一个为(D．若|a|＝2|b|，则k＝±22

[解析] 当k<－2时，a·b＝k－2<0，且a与b不共线，故A正确．|a|＝k2＋42222≥2，故B正确．与b共线的单位向量有两个分别为(，－)和(－，)，

2222故C错．对于D，当|a|＝2|b|时，k2＋4＝22，解得k＝±2，故D错，因此选C、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

11．(2024·天津二十四中月考)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为

13 .

22

，－) 22

[解析] ∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)， ∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝13.

12．(2024·河南郑州一中摸底)复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，i为虚数单位，z1

若是实数，则实数b的值为__6__. z2

z13－bi

[解析] 由题意设＝a(a∈R)，则＝a，即3－bi＝a－2ai，解得a＝

z21－2i

4

3，b＝6.

13．(2024·陕西西安二中测试)已知向量a在b方向上的投影为－1，向量1

b在a方向上的投影为－，且|b|＝1，则|a－b|＝

2

7 .

[解析] 设向量a和b所成的角为θ，由题意得|a|cos θ＝－1，|b|cos θ11

＝－.∵|b|＝1，∴cos θ＝－，|a|＝2，∴|a－b|2＝7，∴|a－b|＝7.

22

14．(2024·重庆一中月考)设非零向量a，b，c满足a＋2b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为 90° .

[解析] 通解：∵a＋2b＋c＝0，∴a＋2b＝－c，∴a2＋2b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－的夹角为90°.

优解一：如图所示，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2,0)，b＝(－2，2)，∵a＋2b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.

2

|a|2，∴a·c＝0，∴a，c2

优解二：如图所示，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋2b)⊥a，又a＋2b＝－c，∴a，c的夹角为90°.

三、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分15分)(2024·湖南怀化重点中学第三次联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋tb(t∈R)．

π

(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；

4

5