学科教师辅导讲义
学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 T同步课堂 年 级：九年级 辅导科目：数 学 课 时 数：3 学科教师： 第10讲-----圆 P实战演练 S归纳总结 ① 理解圆的定义与点与圆的位置关系及圆的对称性；熟练掌握圆心角、弦、弧之间的关系； ② 熟练掌握圆周角定理及其推论； 教学目标 ③ 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； ④ 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； ⑤ 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 1
? 知识概念 （一）圆的定义，点与圆的位置关系 1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作⊙Ｏ，读作“圆O”。 2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。 3、点在圆内d ＜ r； 点在圆上d = r； 点在圆外d ＞ r （二）圆心角、弧、弦之间的关系 1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等． 三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． （三）垂径定理 1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧；（2）平分弦 (不是直径)；（3）垂直于弦；（4）经过圆心 （四）圆周角的定义与圆周角定理 1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （五）圆内接四边形 1、圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 2
（六）确定圆的条件 1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． （七）三角形的外接圆 1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部 （八）直线与圆的位置关系判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交?d＜r； ②直线l和⊙O相切?d=r； ③直线l和⊙O相离?d＞r． （九）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 1、注意：切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： ①直线过圆心；② 直线过切点；③ 直线与圆的切线垂直． 2、切线性质的运用（常作辅助线） 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． （十）切线的判定定理 1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路） “无交点，作垂线段，证半径”； “有交点，作半径，证垂直”． （十一）三角形的内切圆与内心 1、内切圆的有关概念：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． 3、三角形内心的性质： 3
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． （十二）切线长定理 1、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 2、切线长定理包含着一些隐含结论 ①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． （十三）圆的相关计算 1、弧长公式： 2、扇形面积公式： 考点一： 圆的定义、点与圆的位置关系 例1、列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】①③④⑤错误， 半圆也是弧；②正确；故选：C． 例2、A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ） A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10 【解析】∵圆中最长的弦为直径，∴0＜AB≤10．故选：D． 考点二： 圆心角、弧、弦的关系 例1、在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 D．相等圆心角所对的弦相等 C．相等圆心角所对的弧相等 【解析】A． 4
例2、如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交 ⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ） A．50° B．65° C．100° D．130° 【解析】由题意可得：AB=AC，∵∠ABC=65°，∴∠ACB=65°， ∴∠A=50°，∴∠BOC=100°，故选：C． 考点三： 垂径定理及推论 例1、⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC． 若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ） A．2 B．8 C．2 D．2 【解析】D． 例3、如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（ ） A．2 B． C．2 D． 【解析】过O作OC⊥AP于点C，连结OB， ∵OP=4，∠APO=30°， ∴OC=sin30°×4=2， ∵OB=3，∴BC= ∴AB=2；故选A． ==， 例3、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【解析】（1）∵直径AB=26m，∴OD=∵OE⊥CD，∴， ， ∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x， ∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m； （2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m， 即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 5
中考二轮-第10讲-圆（提高）-教案 - 图文
