精品教案
2.2.1 椭圆及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．若F1，F2是两个定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2. 答案：D 2．椭圆
＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O是259
x2y2
坐标原点)的值是( )
3
A．4 B．2 C．8 D.
2答案：A
3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆
3的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是( )
x2
可编辑
精品教案
A．23 B．6 C．43 D．12 3.由椭圆的定义，
3.
3，
解析：由题意，知a＝
得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2
所以(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BC|＋|BA|＋|CA|＝4即△ABC的周长为4答案：C
3.
4．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( ) A.
＋＝1 259
x2y2
B.
＋＝1(y≠0) 259
＋＝1(y≠0) 259
y2x2
C.
＋＝1(y≠0) 169
x2y2
D.
x2y2
答案：D 5．如果方程2＋
x2y2
aa＋6
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
B．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
A．a＞3 C．a＜－2
解析：由于椭圆焦点在x轴上，
??a2＞a＋6，??（a＋2）（a－3）＞0，所以?即??a＞3或－6＜a＜－2.
??a＋6＞0，??a＞－6.
答案：D 二、填空题
6．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|
4924＝________．
解析：由椭圆定义及标准方程知|PF1|＋|PF2|＝14. 且|PF1|2＋|PF2|2＝100， 联立可得|PF1|·|PF2|＝48.
可编辑
x2y2
精品教案
答案：48
7．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2则此椭圆的标准方程为_____________________．
解析：由已知2a＝8，2c＝2所以a＝4，c＝
15，
15，
15，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1， ＋x2＝1. 16
所以椭圆标准方程为
y2
答案：
＋x2＝1 16
y2
8．已知椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
20k解析：由已知2c＝6，得c＝3. 所以20－k＝9或k－20＝9， 所以k＝11或k＝29. 答案：11或29 三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； (2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 解：(1)由焦距是4可得c＝2且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)． 由椭圆的定义知2a＝
32＋（2＋2）2＋
32＋（2－2）2＝8，
x2y2
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
1612(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，
可编辑
y2x2
精品教案
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
169144169144
10．一个动圆与已知圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9. 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图所示，
x2y2y2x2
由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R， 所以|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，所以b2＝a2
－c2＝25－9＝16.
故动圆圆心的轨迹方程为
＋＝1. 2516
B级 能力提升
1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2＝2∶1，
94则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4 C．3 D．1 答案：B
x2y2
x2y2
可编辑
精品教案
?π?
2．a∈?0，?，若方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值
?2?
范围是________．
解析：方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为
x2
1
＋y2
1
＝1.
sin αcos α因为椭圆的焦点在y轴上，所以＞＞0.
cos αsin α1
1
?π?ππ
又因为α∈?0，?，所以sin α＞cos α＞0，所以＜α＜.
42?2??ππ?
答案：?，?
?42?
3．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆的标准方程为2＋
x2y2
ab2
＝1(a＞b＞0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)． →
因为F1A⊥F2A，则F1A·F2A＝0.
又F1A＝(－4＋c，3)，F2A＝(－4－c，3)，
所以(－4＋c)(－4－c)＋32＝0，所以c2＝25，即c＝5. 所以F1(－5，0)，F2(5，0)， 所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝ 10＋
90＝4
10.
（－4＋5）2＋32＋
（－4－5）2＋32＝
→
→→
所以a＝210，
10)2－52＝15.
所以b2＝a2－c2＝(2
可编辑
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2-2_2.1 椭圆及其标准方程练习 新人教A版选修2-1
