Ritz向量法在结构与土相互作用分析中的应用
李 岳1, 2, 3，姜忻良1, 2
【摘 要】为了提高地震作用下结构与土相互作用体系分析效率，对应用Ritz向量法求解SSI体系地基子结构主模态及进行地震反应计算的适用性与有效性进行了分析研究．根据地基土主模态分布较为分散的特点，考察外部动荷载的空间分布与地基自身振动特性的对应关系，滤除对地基振动贡献较小的低阶振型．算例分析结果表明，Ritz向量法自振特性计算效率较传统模态向量有明显提高，同等动力反应分析精度条件下截取的模态数量仅为后者的 1/7，大大降低了地基子结构的计算规模，该方法应用于地基土的主模态分析十分有效． 【期刊名称】天津大学学报 【年(卷),期】2012(045)006 【总页数】6
【关键词】Ritz向量；结构与土相互作用；子结构法；地基主模态
近年来，结构与土相互作用(structure-soil interaction，SSI)问题一直是学术界和工程界关注的重点．历次震害研究表明，SSI效应对上部结构的自振特性与振动反应有明显的影响，地震作用下土体的变形反应不容忽视[1]．为了模拟相互作用条件、克服边界效应影响，SSI分析模型通常需要在地基深度和宽(长)度方向上截取较大的范围，模型体量通常较为庞大．一般认为，动态子结构方法是解决此类大型复杂结构体系动力分析的有效方法[2]．就SSI问题研究而言，通常是将上部结构与地基土划分为不同的子结构．地基子结构由于包含有大量连续分布的实体单元(或平面单元)，计算规模较上部结构高得多．因而，如何从数量众多的特征值结果中高效地提取地基主振型(主模态)成为研究的难点．
Ritz向量法由于在求解过程中考察了外部动荷载的空间分布与结构自身振动特性的对应关系，因而可滤除对荷载没有响应或贡献极小的低阶振动模态[3]．由此特性，有研究工作者将其应用于大跨度空间结构和高层结构的动力分析中，计算效率可明显提高[4-5]．文献[6-9]对 Ritz向量法在子结构层次中的应用有系统地探讨．
对于SSI问题研究，由于地基模型通常占据了相互作用体系中相当多的自由度，提高地基主模态分析效率对于缩减问题总体计算规模有着重要的意义．为此，本文通过一组算例分析了应用 Ritz向量法求解SSI体系地基子结构主模态，以及进行地震反应计算的适用性与有效性．
1 结构与土相互作用体系
图 1给出了结构与土相互作用体系三维分析模型．地上部分为3层框架结构体系，平面尺寸10,m×10,m，层高 5,m，楼层质量 3×105,kg，楼层抗侧刚度1.5×107,N/m．筏形基础位于场地表面几何中心，几何尺寸与楼板相同，为简化分析条件，假定基础板为刚性．地基总体尺寸 40,m×40,m×20,m(长×宽×深)，土体基本物理参数描述如下：土体密度1,800,kg/m3，弹性模量 162.0,MPa，泊松比 0.3，阻尼比 0.17；地基土采有限元模型模拟，单元网格尺寸为2.5,m×2.5,m×2.5,m，划分网格后地基模型单元总数为2,049个；地震作用假定沿x轴方向单向输入.
根据分支模态法基本原理[10]，现将相互作用体系划分为两部分子结构：地基分支(弹性地基上的刚性结构，以脚标d表示)和结构分支(刚性地基上的弹性结构，以脚标s表示)．
对各分支求解特征值问题，形成模态变换矩阵βi，并按式(1)对刚度 K i、质量
M i、阻尼 C i和附加力fi矩阵进行模态坐标变换(以结构分支为例)，即 相互作用体系几何坐标自由度δi与模态坐标自由度 q i (i =d,s)的转换关系为 整理得到经模态变换后的体系动力方程
式中R为上部结构刚体模态矩阵，描述了结构分支与地基分支间的位移协调关系，可由基点法求得．
2 Ritz向量的求解与应用
当求解βi时需要从全体特征值计算结果中提取与分析问题相关的主振型(或主模态)．对于结构分支，一般认为结构前 10～20阶振型包含了主要的振动能量，截取这部分振型参与计算即可满足其分析要求[8]．对于地基分支，试算结果表明地基主模态往往是分散地分布于全部地基振型中，主模态截取范围难以确定，因此，采用 Ritz向量法求解地基主模态问题，以Ritz向量作为传统模态向量的替代．第1个初始Ritz向量α1可由式(4)求解得到．
式中 df为地基分支外荷载分布向量．对于单向水平地震作用(x轴方向)，有 式中 xm为质量列阵，节点质量仅分布在与外激励方向对应的自由度上．对于多维地震动情况，外荷载项形式 (以x向和z向组合振动情况为例)为 对α1关于质量矩阵规一化，即
循环求解其他Ritz向量iα(i＝2，3，…，m)，方程组表达式为 对各向量作正交化处理，即
类似地，作关于质量矩阵的归一化处理，即
依式(11)求解与刚度矩阵正交的最终 Ritz向量βd，以其作为地基分支模态变换矩阵．
式中广义刚度矩阵
Ritz向量法在结构与土相互作用分析中的应用
