第二节 基本不等式及其应用
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(对应学生用书第95页)
[基础知识填充]
1．基本不等式：ab≤
a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数，基本
不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．几个重要的不等式(注意逆应用)
(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤?
2
2
?a＋b?
2
2
? (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． ?2?
≥?
(3)
a＋b2
2
?a＋b?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
??2?
2
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值q那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最
4大)．
[知识拓展]
2aba＋b1.≤ab≤≤a＋b2
baabq2
a2＋b22
(a＞0，b＞0)．
2．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)＞A在区间D上恒成立?f(x)min＞A；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)＜B在区间D上恒成立?f(x)max＜B.
1
(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立?f(x)max＞A；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立?f(x)min＜B.
(3)恰成立问题：不等式f(x)＞A恰在区间D上成立?f(x)＞A的解集为D； 不等式f(x)＜B恰在区间D上成立?f(x)＜B的解集为D.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a＋b≥2ab与
2
2
2
a＋b2
≥ab成立的条件是相同的．( )
(2)(a＋b)≥4ab(a，b∈R)．( )
(3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( ) 1
(4)函数y＝x＋的最小值是2.( )
x4?π?(5)函数f(x)＝cos x＋，x∈?0，?的最小值等于4.( )
2?cos x?(6)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√
2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 C．81
C [∵x＞0，y＞0，∴＝81.]
1
3．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( )
B．77 D．82
xyyxx＋y2
≥xy，即xy≤?
?x＋y?＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)
?max
?2?
2
xA．最大值0 C．最大值－4
C [∵x＜0，∴f(x)＝－?(－x)＋＝－1时取等号． ∴f(x)有最大值－4.] 4．若函数f(x)＝x＋
A．1＋2
B．最小值0 D．最小值－4
??
1?1
－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x?(－x)?－x1
(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) x－2
B．1＋3
2
C．3 D．4 1
＋2≥2x－2
(x－2)×
1
＋2＝4，当且仅x－2
C [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋当x－2＝C.]
1
(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选x－2
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y， 1
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
2则y＝x(10－x)≤?
2
?x＋(10－x)?＝25，
?2??
2
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
(对应学生用书第95页)
利用基本不等式求最值 (1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________． 51
(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
44x－5(3)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.
【导学号：79140194】
(1)
1
(2)1 (3)5 [(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝16
4ab，
111
当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．
282111
∴ab≤，∴ab≤.∴ab的最大值为.
41616法二：∵4a＋b＝1，
11?4a＋b?1
∴ab＝·4a·b≤?＝， ?44?2?16
111
当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝(满足a＞0，b＞0)时，等号成立，∴ab的最大值为
282
2
3
1. 16
5
(2)因为x＜，所以5－4x＞0，
4
1?1?则f(x)＝4x－2＋＝－?5－4x＋?＋3 5－4x?4x－5?≤－2
1
(5－4x)·＋3＝－2＋3＝1.
5－4x1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
5－4x1
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
4x－513
(3)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
5y5x∴3x＋4y＝(3x＋4y)?
?1＋3?
??5y5x?
12y3x3x12y1
·＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成5x5y5y5x2
943x12y13
＝＋＋＋≥＋2555y5x5立)，
∴3x＋4y的最小值是5.]
规律方法] 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： 1对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. 2条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 易错警示：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. a2＋4＋4ab＋4b2[跟踪训练] (1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知a＞0，b＞0，则的最a＋2b小值为( ) 1
A. 4C．2
B．1 D．4
(2)(2017·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
3
(3)(2017·四川乐山一中月考)设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为
2
xyab 4
________．
9a＋4＋4ab＋4b4
(1)D (2)8 (3) [(1)＝a＋2b＋≥2
2a＋2ba＋2b2
2
2
(a＋2b)·
2
4
＝4，a＋2b4a＋4＋4ab＋4b当且仅当a＋2b＝，即a＋2b＝2时等号成立，则的最小值为4.故
a＋2ba＋2b选D.
(2)∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)， 12
∴＋＝1，
xyabab12?4ab?∴2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝4＋＋≥4＋2
ba?ab?当且仅当＝
4ab·＝8，
bab4a，即a＝2，b＝4时，等号成立． ab故2a＋b的最小值为8.
?2x＋(3－2x)?＝9，当且仅当2x＝3－2x，即
(3)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2??22??
x＝时，等号成立．
3?3?∵∈?0，?， 4?2?
3?9?∴函数y＝4x(3－2x)?0＜x＜?的最大值为.] 2?2?
3
4
2
基本不等式的实际应用
某化工企业2017年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． [解] (1)由题意得，
y＝
100＋0.5x＋(2＋4＋6＋…＋2x)
，
x5
高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式及其应用学案理北师大版
