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附：参考答案
一、图形运动产生的面积问题
3331. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米．
22（2） 当0＜t≤1时，S?3t+333；当1＜t≤2时，S?； 22当2＜t＜3时，S?-3t?73 2t22．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，S?；
4t1-； 2431349当4＜t≤5时，S?-t2?t-；
42413当5＜t≤6时，S?-t?；
212当6＜t≤7时，S??7-t?
2当1＜t≤4时，S?3.解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。
∵点O是△ABC的重心，
∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD， ∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA，= = , =
,∴
（2）点O是是△ABC的重心。
；
证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点
Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ，
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而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；
（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别 与AC、AB交于点M、N， ∵点O是△ABC的重心，
∴ = ， = ,
∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，
在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，
在△AGH中，OM//AH，= ，
在△ACH中，ON//AH，= ，
∴ + = +=1， + =1, + = 3 ,
令= m , = n , m=3-n,
∵ = ,
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=
=
= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n+3n-1= -(n-
2
)+
2
,
∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。
附：
方法的作图。
或 的另外两种证明
方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。
方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。
二、二次函数中的存在性问题
1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时， △BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA； ① 若△BAP∽△AOB，如图1，
可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），
OAM图1ByBPxy131326代入y??x?3x，可知m?，P(,) 1255252② 若△BAP∽△BOA，如图2，
m可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），
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代入y??x?3x，可知m?2111111，P2(,) 8416当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA； ③ 若△ABP∽△AOB，如图3，
可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m）， 代入y??x?3x，可知m?21，P3(2,2) 2y④ 若△ABP∽△BOA，如图4，
可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，代入y??x?3x，可知m?
2.解：（1）由抛物线解析式y??y25m）， 2MBOAP151，P4(,) 224x图412?x?1??3可得B点坐标（1，3）. 4ABDFEP要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度. 过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F. 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.
OCGQx则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0） 可得BQ解析式为y=－x+4.
（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论. ① 当∠DCE=30°时，
a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.
yABDKDHDC则可证△DCH∽△DEK.则??3，
DKDEPEDH?3. 在矩形DHQK中，DK=HQ，则HQ在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，
OCHQxBC?3∴CQ=3，此时，Q点坐标为（1+3,0） CQyADB则P点横坐标为1+3.代入y??912?x?1??3可得纵坐标.∴P（1+3,）. 44b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称. 9 由对称性可得此时点P坐标为（1－3,）
4② 当∠DCE=60°时，
a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.
PKEQOHyACxBDCNQDMDC1??则可证△DCM∽△DEN.则， DNDE3 专业技术资料
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在矩形DMQN中，DN=MQ，则
DM1?. MQ3BC1?CQ3
NQyADB在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，
MOECx∴CQ=3BC=33，此时，Q点坐标为（1+33，0）,则P点横坐标为1+33.代入y??P12?x?1??34可得纵坐标.∴P（1+33,－15）. 4b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.
15） 4991515综上所述，P点坐标为（1+3,），（1－3,），（1+33,－）或（1－33,－）.
4444由对称性可得此时点P坐标为（1－33,－3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0） 将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，y （2）存在： 如果△AMN与△ACD相似，则??110x?x?8 332yMN1MN?或?2 AN2ANONADx设M(m,?110m?m?8)（0
2019年中考数学压轴题专项训练有答案解析
