（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。 说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB 例题：
abbca?b?,?.求:b?c的值. 例1、已知：2354分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：
(1)设比值为k;
(2)比例的基本性质；
(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.
abbc?及?2354，解：由得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.
设a=10k,b=15k,c=12k, 则(a+b):(b－c)=25:3.
例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，分别交AB，DC于E，F.求证：
112??(1)OE=OF;(2)ADBCEF;(3)若MN为梯形中位线，求证AF∥
MC.
分析：
(1)利用比例证明两线段相等的方法.
ac?①若dd,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)；
ab?②若da,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)； aca'c'?'?'③若dd,dd,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′.
(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.
112111????(3)证明ADBCEF时，可将其转化为“abc”类型后：
cc??1①化为ab直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，
证明比值的和为1；
②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.
(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.
延长BA，CD交于S，AF∥MC
∴ AF∥MC成立.
(5)用运动的观点将问题进行推广.
若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么?
(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等
例3 已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE. 分析：
(1)分解基本图形探求解题思路.
(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)
ADDE?的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到DCCF
ADDF?结合中点定义得到BCCE,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因
此∠1=∠2.进一步可 得到AF⊥BE.
(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③ 三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面 积关系.
例4 已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.
求证：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE. 分析：
掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论.
①勾股定理：AC2+BC2=AB2. ②面积公式：AC·BC=AB·CD. ③三个比例中项：
AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2=DA·DB.
AC2AD?2BD ⑤BC证明：第(1)题： ∵ CD2=AD·BD,
∴ CD4=AD2·BD2=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC) =(AE·BF)·(AB·CD).
第(2)题：
BC2BD?BABD??2AD?ABAD,利用ΔBDF∽ΔDAE，证得 ∵ACBDDFCE??ADEAAE,命题得证.
第(3)题：
BC2BD?ABBD??2AD?ABAD, ∵ACBC4BD2BF?BCBC3BF???423AE?AC,∴ACAE AD ∴AC
第五章：解直角三角形
知识点：
一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－1
1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
sinA?a cb ca bb a1） cotA 2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
cosA? 3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作
tanA? 4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作
cotA? 说明：由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成tanA?
5、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
说明：锐角三角函数都不能取负值。 0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜；l
6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB 7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 即tanA＝cot（90°一 A）＝cotB；cotA＝tan（90°－A）＝ tanB 说明：式中的90°一A = B 。 8、三角函数值的变化规律
（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 9、同角三角函数关系公式 （1）sin2A?cos2B?1；（2）tanA?10．一些特殊角的三角函数值
1sinA
；（3） tanA＝ cotAcosA
二、解直角三角形
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系： （l）a2?b2?c2；（2）∠A十∠B＝90°；
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