一类分数阶微分方程边值问题解的存在性

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

【摘 要】应用Green函数，可以将分数阶微分方程边值问题转化为等价的积分方程，近来此方法被应用于讨论非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性. 本文讨论非线性分数阶微分方程边值问题, 利用Schaefer不动点定理和Leray-Sehauder不动点定理获得该问题解的存在性. 【期刊名称】兰州交通大学学报 【年(卷),期】2012(031)006 【总页数】4

【关键词】边值问题；分数阶微分方程；Caputo型分数阶导数；不动点定理 本文主要研究下列非线性分数阶微分方程边值问题 (1)

u(0)-u′(0)=γ1,u(T)+u′(T) =γ2 (2)

解的存在性. 其中:1≤q≤2,γ1,γ2为实数，为Caputo型分数阶导数. 设E是Banach空间，f∶J×→是给定的函数.设C(J,)为定义于J，取值于的连续函数按范数‖u‖∞∶=max{‖u‖∶t∈J}构成的Banach空间.

在过去的几十年中，分数阶微分方程被广泛的研究，这些文献的动机基于分数阶微分方程理论的发展和在多门学科的应用，比如在物理、动力学、化学、工程学等方面的应用.这方面的大量结果，读者可参阅文献[1-2]. 对分数阶微分方程边值问题解与正解的研究, 读者可参阅文献[3-9]. 例如, 文献[3]中, 作者用锥上的不动点理论, 证明了非线性分数阶微分方程边值问题

正解的存在性和多解性.其中:f∶[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续的,是标准Riemann-Liouville型分数阶微分.

文献[6]研究了下列非线性分数阶微分方程边值问题:

正解的存在性, 其中:为Caputo型分数阶微分;f∶[0,1]×→连续的.

受以上工作的启发, 在新的条件下, 利用Schaefer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理, 研究了非线性分数阶微分方程边值问题(1)、(2)解的存在性.

1 预备知识

定义1.1[1-2] 函数h∈L1([a,b],+)的r∈+阶Riemann-Liouville型分数阶积分定义如下:

其中:Γ(r)是伽马函数.当a=0, 记Iγh(t)=[h*φr](t),对 对t≤0,φr(t)=0,且当r→0时,φr→δ(t), 其中:δ是delte函数.

定义1.2[1-2] 对区间[a,b]上给定的函数h, 函数h的r阶(r>0)Caputo型分数阶微分定义如下:

其中:n=[r]+1,[r]表示r的整数部分.

引理1.1[6] 令q>0,假设h(t)∈C(0,1)∩L1(0,1)则微分方程有解 h(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,ci∈R,i=0,1,2,…,n-1,n=[q]+1.

引理1.2[6] 假设h(t)∈C(0,1)∩L1(0,1),且具有q阶(q>0)分数阶微分,则有 引理1.3[6] 给定h(t)∈C(0,T),则分数阶微分方程 (3)

u(0)-u′(0)=γ1,u(T)+u′(T)=γ2, (4)

的唯一解是

u(t)=G(t,s)h(s)ds+g(t), (5) 其中: (6)

其中:G(t,s)是边值问题(3)、(4)的Green函数.

引理1.4[10] (Schaefer不动点定理)设X是Banach空间，假如算子A为X到自身的连续的紧算子，使得集合{x∈8∶X=λAx,0≤λ≤1}是有界集.那么算子A存在不动点.

引理1.5[10] (Leray-Schauder型非线性抉择)令X是Banach空间，且C?X是闭凸集. 假设U是C的相对开子集, 且0∈U,算子→C是连续的紧算子, 则下列结论之一成立:

1) A在中有1个不动点; 2)存在u∈?U和λ∈(0,1), 且u=λAu.

2 主要结果

为方便起见,列出下列条件： H1) 函数f∶J×→是连续的；

H2) 存在常数M>0, 对任意的t∈J, 对任意u∈,使得‖f(t,u)‖≤M；

H3) 存在m(t)∈L1(J,)和非减连续函数φ(t)∶[0,+∞)→(0,+∞)使得函数f(t,u)满足|f(t,u)|≤m(t)φ(|u|),(t,u)∈[0,1]×； H4) 存在常数M>0,使得

其中:G*=sup{‖G(t,s)‖,(t,s)∈J×J}，g*=sup{‖g(t)‖,t∈J}.

定理2.1 如果条件H1)和H2)成立， 那么边值问题(1)、( 2)在J上至少有一个