1．1 导数
1．1.1 函数的平均变化率 1．1.2 瞬时速度与导数
1．理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点) 2．理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点) 3．会用导数的定义求函数的导数．
[基础·初探]
教材整理1 函数的平均变化率
阅读教材P3～P4“例1”以上部分，完成下列问题． 函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
＝f(x0＋Δx)－f(x0)，
Δy
则当Δx≠0时，商________＝Δx
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 【答案】
f?x0＋Δx?－f?x0?
Δx
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．( ) (2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．( )
Δy
(3)Δx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度与导数 阅读教材P6～P8，完成下列问题． 1．物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当______________时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率________________趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
2．函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率______________________________趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
记作：当Δx→0时，
f?x0＋Δx?－f?x0?
→l.
Δx
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化f?x0＋Δx?－f?x0?
率l，记作lim ＝l.
Δx
Δx→0
3．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在点x0的__________，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作________，即f′(x0)＝____________.
4．函数的导数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x__________的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________________．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为________________．
【答案】 1.Δt趋近于0
f?t0＋Δt?－f?t0?
Δt
Δyf?x0＋Δx?－f?x0?2.Δx＝ Δx
f?x0＋Δx?－f?x0?
3．瞬时变化率 f′(x0) lim Δx
Δx→0
4．都是可导 确定的导数f′(x) f′(x)或y′(或y′x)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
【解析】 (1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误． (3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是_________________________．
【导学号：05410000】
【解析】 ∵f(x)＝x2，
∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是
f?1＋Δx?－f?1?Δy
lim Δx＝lim
Δx
Δx→0Δx→0
?1＋Δx?2－12
＝lim Δx
Δx→0
＝lim (2＋Δx)＝2.
Δx→0
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2：
解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型] 求函数的平均变化率 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 C．0.43
B．0.41 D．0.44
1
(2)已知函数f(x)＝x＋x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【精彩点拨】 (1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝f(2＋0.1)－f(2)可得．
Δy
(2)求Δx＝x2－x1→求Δy＝f?x2?－f?x1?→计算Δx
【自主解答】 (1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为 f?2?－f?1?
＝2－1
1
2＋2－?1＋1?
1
1＝2；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 1?1?
5＋－?3＋3?5?f?5?－f?3??14＝＝15. 25－3
1141
因为2<15，所以函数f(x)＝x＋x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； Δyf?x2?－f?x1?
第三步，求平均变化率Δx＝. x2－x12．求平均变化率的一个关注点
f?x0＋Δx?－f?x0?
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
Δx
[再练一题]
1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( ) A．2 C．2＋Δx
B．2x D．2＋(Δx)2
【解析】 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2， Δy2Δx＋Δx
∴Δx＝Δx＝2＋Δx，故选C. 【答案】 C
求瞬时速度 2
1
(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，
2
则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________.
【导学号：05410001】
ΔsΔs【精彩点拨】 先求出Δt，再求lim Δt.
Δt→0
12?1?2
vt－【自主解答】 (1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－2g(t0＋Δt)－?002gt0?＝v0Δt－gt0Δt??1
－2gΔt2，
Δs1
∴Δt＝v0－gt0－2gΔt，
Δs
∴lim Δt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
Δt→0
(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13 ＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2
2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-2 课件+教师用书+课时分层作业 第一章(18)
