1.1 导数
1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数
1.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率.(重点) 2.理解瞬时变化率、导数的概念.(难点、易混点) 3.会用导数的定义求函数的导数.
[基础·初探]
教材整理1 函数的平均变化率
阅读教材P3~P4“例1”以上部分,完成下列问题. 函数的平均变化率的定义
一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)
=f(x0+Δx)-f(x0),
Δy
则当Δx≠0时,商________=Δx
称作函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])的平均变化率. 【答案】
f?x0+Δx?-f?x0?
Δx
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相对于x1的一个增量,Δx可以为零.( ) (2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负也可以为零.( )
Δy
(3)Δx表示曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度与导数 阅读教材P6~P8,完成下列问题. 1.物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),当______________时,函数f(t)在t0到t0+Δt之间的平均变化率________________趋近于常数,我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度.
2.函数的瞬时变化率
设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,当自变量在x=x0附近改变量为Δx时,函数值相应地改变Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果当Δx趋近于0时,平均变化率______________________________趋近于一个常数l,那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.
记作:当Δx→0时,
f?x0+Δx?-f?x0?
→l.
Δx
还可以说:当Δx→0时,函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化f?x0+Δx?-f?x0?
率l,记作lim =l.
Δx
Δx→0
3.函数f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在点x0的__________,通常称为f(x)在点x0处的导数,并记作________,即f′(x0)=____________.
4.函数的导数
如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x__________的,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个________________.于是,在区间(a,b)内,f′(x)构成一个新的函数,把这个函数称为函数y=f(x)的导函数.记为________________.
【答案】 1.Δt趋近于0
f?t0+Δt?-f?t0?
Δt
Δyf?x0+Δx?-f?x0?2.Δx= Δx
f?x0+Δx?-f?x0?
3.瞬时变化率 f′(x0) lim Δx
Δx→0
4.都是可导 确定的导数f′(x) f′(x)或y′(或y′x)
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中,Δx,Δy都不可能为零.( )
【解析】 (1)由导数的定义知,函数在x=x0处的导数只与x0有关,故正确. (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量,故错误. (3)在导数的定义中,Δy可以为零,故错误. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是_________________________.
【导学号:05410000】
【解析】 ∵f(x)=x2,
∴函数f(x)在x=1处的瞬时变化率是
f?1+Δx?-f?1?Δy
lim Δx=lim
Δx
Δx→0Δx→0
?1+Δx?2-12
=lim Δx
Δx→0
=lim (2+Δx)=2.
Δx→0
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1: 解惑: 疑问2:
解惑: 疑问3: 解惑:
[小组合作型] 求函数的平均变化率 (1)已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 C.0.43
B.0.41 D.0.44
1
(2)已知函数f(x)=x+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
【精彩点拨】 (1)由Δy=f(x+Δx)-f(x) =f(2+0.1)-f(2)可得.
Δy
(2)求Δx=x2-x1→求Δy=f?x2?-f?x1?→计算Δx
【自主解答】 (1)Δy=f(2+Δx)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41. 【答案】 B
(2)自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为 f?2?-f?1?
=2-1
1
2+2-?1+1?
1
1=2;
自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为 1?1?
5+-?3+3?5?f?5?-f?3??14==15. 25-3
1141
因为2<15,所以函数f(x)=x+x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1;
第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1); Δyf?x2?-f?x1?
第三步,求平均变化率Δx=. x2-x12.求平均变化率的一个关注点
f?x0+Δx?-f?x0?
求点x0附近的平均变化率,可用的形式.
Δx
[再练一题]
1.函数y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是( ) A.2 C.2+Δx
B.2x D.2+(Δx)2
【解析】 ∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+Δx2, Δy2Δx+Δx
∴Δx=Δx=2+Δx,故选C. 【答案】 C
求瞬时速度 2
1
(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t-gt2,
2
则物体在t0时刻的瞬时速度为__________.
(2)某物体的运动方程为s=2t3,则物体在第t=1时的瞬时速度是__________.
【导学号:05410001】
ΔsΔs【精彩点拨】 先求出Δt,再求lim Δt.
Δt→0
12?1?2
vt-【自主解答】 (1)∵Δs=v0(t0+Δt)-2g(t0+Δt)-?002gt0?=v0Δt-gt0Δt??1
-2gΔt2,
Δs1
∴Δt=v0-gt0-2gΔt,
Δs
∴lim Δt=v0-gt0,即t0时刻的瞬时速度为v0-gt0.
Δt→0
(2)∵当t=1时,Δs=2(1+Δt)3-2×13 =2[1+(Δt)3+3Δt+3(Δt)2]-2
2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-2 课件+教师用书+课时分层作业 第一章(18)
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