专题05解析几何
3x2y21.（2017全国1卷理科20）已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），
2abP4（1，
3）中恰有三点在椭圆C上. 2（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
x2故C的方程为?y2?1.
4（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
4?t2如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t?0，且|t|?2，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，
24?t2?）.
24?t2?24?t2?2???1，得t?2，不符合题设. 则k1?k2?2t2tx2从而可设l：y?kx?m（m?1）.将y?kx?m代入?y2?1得
4(4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0. 由题设可知?=16(4k2?m2?1)?0.
4m2?48km设A（x1， y1），B（x2，y2），则x1+x2=?2，x1x2=.
4k2?14k?1而k1?k2???y1?1y2?1 ?x1x2kx1?m?1kx2?m?1 ?x1x22kx1x2?(m?1)(x1?x2).
x1x2由题设k1?k2??1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0.
4m2?4?8km即(2k?1)?2?(m?1)?2?0.
4k?14k?1m?1解得k??.
2当且仅当m??1时，??0，于是l：y??所以l过定点（2，?1）.
m?1m?1x?m，即y?1??(x?2)， 22x2?y2?1上，过M作x轴的垂线，垂足2.（2017全国2卷理科20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2为N，点P满足NP?2NM．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
（2）由题意知F??1,0?．设Q??3,t?,P?m,n?，
则OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn，OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?．
2222由OP?PQ?1得?3m?m?tn?n?1，又由（1）知m?n?2，故3?3m?tn?0．
所以OQ?PF?0，即OQ?PF．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过
C的左焦点F．
3.（2017全国3卷理科20）已知抛物线C：y=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段
2
AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P?4,?2?，求直线l与圆M的方程.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得y1?y2?2m,x1?x2?m?y1?y2??4?2m?4.
2y1y2?4????1，所以OA?OB. x1x24故圆心M的坐标为m2?2,m，圆M的半径r????m2?2??m2. 2由于圆M过点P?4,?2?，因此AP?BP?0，故?x1?4??x2?4???y1?2??y2?2??0， 即x1x2?4?x1?x2??y1y2?2?y1?y2??20?0， 由（1）可得y1y2??4,x1x2?4. 所以2m2?m?1?0，解得m?1或m??1. 2当m?1时，直线l的方程为x?y?2?0，圆心M的坐标为?3,1?，圆M的半径为10，圆M的方程为?x?3???y?1??10. 当m??22851?91?时，直线l的方程为2x?y?4?0，圆心M的坐标为?,??，圆M的半径为，圆M4422??229??1?85?的方程为?x????y???.
4216????4.如图，已知抛物线C：y＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，
2
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