第十二章 微分方程答案
一、
选择题
1．下列不是全微分方程的是 C 1
A.(x?y)dx?(x?2y)dy?0 B.(y?3x)dx?(4y?x)dy?0 C.3(2x?3xy)dx?2(2xy?y)dy?0 D.2x(yex?1)dx?exdy?0 2. 若y3是二阶非齐次线性方程(1):y???P(x)y??Q(x)?f(x)的一个特解，y1,y2是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（c1,c2,c3为任意常数） C 2
A.c1y1?c2y2是(2)的通解 B. c1y1?y3是(1)的解 C. c1y1?c2y2?c3y3是(1)的通解 D. y2?y3是(1)的解 3．下列是方程xdx?ydy? A.x?y B.
2232222222x2?y2dx的积分因子的是 D 2
1122 C. D. x?y2222x?yx?y2d3yxdy2x?e?1的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 4．方程3?e2dxdx(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0
5．已知方程y'?p(x)y?0的一个特解y?cos2x，则该方程满足初始特解y(0)?2的特解为（ C ）. 2
(A) y?cos2x?2 (B) y?cos2x?1 (C) y?2cos2x (D) y?2cosx
2d3yxdy?e2x?1的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 6．方程3?e2dxdx(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0
7．设线性无关的函数y1,y2,y3都是微分方程y''?p(x)y'?q(x)y?f(x)的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2
(A) y?c1y1?c2y2?y3 (B) y?c1y1?c2y2?(c1?c2)y3 (C) y?c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3 (D) y?c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3 8．设方程y''?2y'?3y?f(x)有特解y*，则其通解为（ B ）. 1
(A) c1e?x?c2e3x (B) c1e?x?c2e3x?y* ?c2xe3x?y* (D) c1ex?c2e?3x?y*
(C) c1xe?x9．微分方程y'?ycotx?0的通解为（A ）. 1
(A) y?csinx (B) y?cc (C) y?ccosx (D) y? sinxcosx??10. 方程y?cosx的通解为( C ) 1
(A) (C)
y??sinx?c1x?c2y??cosx?c1x?c2 (B) (D)
y?sinx?c1x?c2
y?cosx?c1x?c2
?x??y?e11. 的通解为( C ) 1
?x?x
?ee(A) (B)
?x?x?x???c1x?c2 ecce12(C) (D)
12. 微分方程
?y???y??y????xy4?023的阶是( B ) 1
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
13. 下列微分方程中，属于可分离变量方程的是( C ) 1
?(A) xsin?xy?dx?ydy?0 (B) y?ln?x?y?
21dyy??y?ex??y??xsinyx (C) dx (D)
14.方程 y??2y?0的通解是（ C ） 1 A.y?sin2x； B.y?4e2x； C.y?ce2x； D.y?e?c。
x15. 下列函数中的（ D ）是微分方程式 y???7y??12y?0 的解。 1
A.y?x； B.y?x； C.y?e； D.y?e。
xxee16. 以和sinx为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（D ） 2
322x3x（A）y???2y??y?0 （B）y???2y??2y?4 （C）y???y?0 （D）无这样的方程。
17.
y???2y??y?x2?1的特解y*可设为( C ) 2 *(A) y?ex?Ax2?Bx?C? (B)
y*?Ax3?Bx2?Cx?D (C) y*?Ax2?Bx?C (D) y*?xex?Ax2?Bx?C?
y??tcos2t18. 若4是方程y???4y?sin2t的一个特解，则该方程的通解是（ A y?ccos2t?tcos2ty?t（A）1sin2t?c24c1sin2t? （B）4cos2t y??ctty?（C）2t?e?2?4cos2t （D）ce2t?c?2tt1?c12e?4cos2t
19. 下列各微分方程中是一阶线性方程的是（ B ） 1
（A）xy??y2?x （B）y??xy?sinx
（C）yy??x （D）
y?2?xy?0 20. 方程y???2y??5y?sin2x的特解可设为（ D ） 2
（A）y?x?asin2x? （B）y?asin2x
（C）y?x?asin2x?bcos2x? （D）y?asin2x?bcos2x
二、 填空题 1、以y??c1?c2t?c2t3t?e （c1,c2,c3为任意常数）为通解的常微分方程是
d3yd2ydydt3?3dt2?3dt?y?0 2 2、若?1,x2,x4是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是
）
cx2?1)?cx41(2(?1)?1 （c1,c2为任意常数） 1
3. 微分方程dy?y2cosxdx的通解: y??1sinx?c 1
4. 微分方程xdy?ydx?y2eydy的通解是:x?y(c?ey) 1
5. 微分方程ydx+(y-x)dy=0的通解是:
xy?lny?c 2 6．以y?cos2x?sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 y''?4y?0。 2dy?f??y??y7．解形如dx?x??u
的微分方程，求解时可作的变量代换 x,y??u?xu? 1 8．微分方程y???4y??3y?0的通解y= C1ex?C2e3x 1 9．微分方程y\ˊ+2y=0的通解是 y?e?x?C1cosx?C2sinx? 。 110、微分方程y???10y??34y?0的通解是 y?e?5x?(c1cos3x?c2sin3x) 1
三、 计算题
1．解方程(x?1)dy?ny?ex(x?1)n?1dx，这里n为常数。 2 解：将方程改写为dydx?nx?1y?ex(x?1)n。
首先求齐次方程dydx?nx?1y?0的通解为y?c(x?1)n
再设y?c(x)(x?1)n，于是dy?dc(x)(x?1)n?n(x?1)n?1dxdxc(x)，带入原方程，得
dc(x)dx?ex，即c(x)?ex?C，C为任意常数。
于是原方程通解为
y?(ex?C)(x?1)n。 5 ＃
2．解方程d3xdt3?x?0 2
解：特征方程为?3?1?0，它的根为?1,12?32i。 于是原方程解为
z?c1e?e(c2cos3．解方程
?t1t233t?c3sint)。c1,c2,c3为任意常数 4＃ 22dyyy??tg 2 dxxxydydudu解：作变量代换?u,?x?u，则原方程变为x?u?u?tgu。即
xdxdxdx
dudxc?，解得sinu??ex，此外还有解tgu?0，即sinu?0。于是方程通解为tguxsinu?cx，这里c为任意常数。
代回原来变量，得原方程通解siny?cx 5＃ x4．解方程
dyy? 2 2dx2x?ydx2x?y2dx2??x?y。 解：将原方程改写为，即dyydyy先求出齐次方程
dx2?x的通解为x?cy2。 dyydxdc(y)2dc(y)1?y?2c(y)y，代入原方程得?? dydydyy再设x?c(y)y，
2解得c(y)??lny?C，C为任意常数。所以原方程通解为
x?y2(C?lny) 5 ＃
5．解方程：xdy?2xy?y(x?0) 2 dxdyyyydydu?2?(x?0)，作代换?u,?x?u，则原方程 dxxxxdxdx解：将方程改写为
变为 xdudxdu??2u。即。 xdx2u于是得此方程通解为
u?ln(?x)?c，即u?[ln(?x)?c]2，(ln(?x)?c?0)，这里c为任意常数。
此外方程还有解u?0。
代回原来的变量，得原方程通解y?x[ln(?x)?c](ln(?x)?c?0)与y?0 5 ＃
2
高数第七章题库微分方程
