2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
一、填空题（本题满分90分，每小题9分。直接将答案写在横线上。） 1. 若非空集合A?{x|3a?2?x?5a?4}，B?{x|5?x?31}，则能使A?A集合是
B成立的所有a的
{a|3?a?7}.
2. 在四边形ABCD中，CB?2AC?3AD，则△ADC与△ABC的面积之比为
13．
3. 已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)?2 ，且对任意的x?R都有f(x?5)?f(x)＋5，
f(x?1)?f(x)?1．则f(2014)? 2015 ．
4．在△ABC中，A?30?，2AB?AC?3BC，则△ABC的最大角的余弦值为5．在直角坐标平面内，曲线|x?1|?|x?1|?|y|?3围成的图形的面积是 5 .
6．在单调递增数列{an}中，已知：且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，a2?4，a2n,a2n?1,a2n?2a1?2，成等比数列，n?1,2,3,?．那么，a100? 2601 . 7．去掉集合A?{n|n?10000,n?N}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第 1961 项.
8. 若函数f(x)?loga(ax?x?)在区间[1,2]上递增，则a的取值范围是(,]2*2?12．
321184(1,??).
9．若a?A且a?1?A,a?1?A，则称a为集合A的孤立元素.那么，集合M?{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.
10. 已知0??????2，且tan??3tan?，则u????的最大值为
?6．
二、解答题（本题满分60分，每小题20分。） 11. 求函数y?xx?3x?22的值域．
解 函数的定义域为{x|x?2或x?1}，当x?0时y?0．
1x2?3x?23212?1?3t?2t?2(t?)?. ………………5分 当x?0时，令t?，记u?2xx48若x?2，则0?t?11，故u?(0,1)，从而可得y??(1,??)； ……………… 10分 2u若0?x?1，则t?1，故u?(0,??)，从而可得y?1?(0,??)； ………………15分 u1?(?1,0)． u若x?0，则t?0，故u?(1,??)，从而可得y??综合可知：y?(?1,??)，即函数的值域为(?1,??)． ………………20分
12. 已知数列{an}满足：a1?3，an?1?an?3n?3n?2?（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：
21,n?N*．
n(n?1)1111?????． a1a2an22解 （1）因为an?1?an?3n?3n?2?(n?1n?1211?)，所以 nn?1n?111an?a1??(ak?1?ak)?3??(3k?3k?2)??(?)
k?1k?1k?1k?1k1n(n?1)11?3?3?(n?1)n(2n?1)?3??2(n?1)?(1?)?n3?n?．…………………10分
62nn（2）因为
1111nnn?(?)， ?4??222222222n?n?1n?n?1ann?n?1(n?1)?n(n?n?1)(n?n?1)11n11111所以 ???(2?2)?[1?]?． …………………20分
2k?1k?k?1k?k?12n(n?1)?12k?1ak
13. 已知函数f(x)?|sinx|?|cosx|?sin2x?1， （1）求函数f(x)的最值；
（2）如果函数f(x)在(0,M?)上恰有2014个零点，求M的取值范围.
解 （1）因为f(x??)?f(x)，所以f(x)是以?为周期的函数，故只需考虑f(x)在[0,?]上的最大值.
①当x?[0,n?]时，令t?sinx?cosx?2sin(x?)，则t?[1,2]，f(x)??t2?t?u(t)，易知24?u(t)在区间[1,2]上单调递减，所以，f(x)的最大值为u(1)?0，最小值为u(2)?2?2.
②当x?(?,?]时，令t?sinx?cosx?2sin(x?)，则t?[1,2]，f(x)?t2?t?2?v(t)，易24?知v(t)在区间[1,2]上单调递增，所以，f(x)的最大值为v(2)?2，最小值为v(1)?0.
综合可知：函数f(x)的最大值为2，最小值为2?2. …………………10分 （2）因为f(x)是以?为周期的函数，可以先研究函数f(x)在(0,?]上的零点个数，易知f(?)?0. 当x?(0,?]时，令f(x)?u(t)??t2?t＝0，解得t?0或1.t?2sin(x?)?0在(0,]上无解，242
??t?2sin(x?)?1在(0,]上仅有一解x?. 422
当x?(????,?)时，令f(x)?v(t)?t2?t?2?0，解得t??2或1.t?2sin(x?)??2在(,?)2422sin(x?)?1在(,?)上也无解.
42??上无解，t???综合可知：函数f(x)在(0,?]上有两个零点，分别为x?
*?2
和x??.
又因为f(x)是以?为周期的函数，所以，若n?N，则f(x)在(0,n?]上恰有2n个零点. 又已知函数f(x)在(0,M?)上恰有2014个零点，所以1007?M?1007.5. …………………20分
2014年湖北省预赛试题和参考答案(高一年级)
