2013年普通高等学校招生全国统一考试
某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断
该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率. 17. 解：（1）样本均值为1 7 9
2 0 1 5 3 0
图4
17?19?20?21?25?30?22 6（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人 （3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A， 1116C8C416所以P(A)?，即恰有1名优秀工人的概率为 ?233C123318.（本小题满分14分） 如图5，在等腰直角三角形ABC中，?A?90，BC?6，D，E分别是AC，AB上的点，?CD?BE?2，O为BC的中点. 将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎A??BCDE， 其中A?O?3.
C D O ?B
A?
E C A D O E
B
图5
（1）证明：A?O?平面BCDE；
（2）求二面角A??CD?B的平面角的余弦值.
图6
18. 解：（1）连结OD，OE
因为在等腰直角三角形ABC中，?B??C?45，CD?BE?2，CO?BO?3 所以在△COD中，OD?CO2?CD2?2CO?CDcos45?5，同理得OE?5 因为AD?A?D?A?E?AE?22，A?O?3 所以A?O?OD?A?D，A?O?OE?A?E
所以?A?OD??A?OE?90
所以A?O?OD，A?O?OE，OD?OE?O 所以A?O?平面BCDE
（2）方法一：过点O作OF?CD的延长线于F，连接A?F 因为A?O?平面BCDE
根据三垂线定理，有A?F?CD
所以?A?FO为二面角A??CD?B的平面角 在Rt△COF中，OF?COcos45??222222???A?
32 2C D O E
F B
2013年普通高等学校招生全国统一考试
在Rt△A?OF中，A?F?所以cos?A?FO?AO2?OF2?30 2OF15 ?A?F515 5A? z 所以二面角A??CD?B的平面角的余弦值为
方法二： 取DE中点H，则OH?OB
以O为坐标原点，OH、OB、OA?分别为x、y、 z轴建立空间直角坐标系
则O(0,0,0),A?(0,0,3),C(0,?3,0),D(1,?2,0)
????BCDE的一个法向量 OA??(0,0,是平面C 3)设平面A?CD的法向量为n?(x,y,z)
D ????????CA??(0,3,3)，CD?(1,1,0)
??????n?CA??3y?3z?0 所以????，令x?1，则y??1，z?3 ???n?CD?x?y?0 所以n?(1,?1,3)是平面A?CD的一个法向量
?设二面角A??CD?B的平面角为?，且??(0,)
2????OA??n315所以cos?????? ??53?5OA??n所以二面角A??CD?B的平面角的余弦值为
O H x B y E 15 52Sn12?an?1?n2?n?，n?N*. n331117 （1）求a2的值；（2）求数列?an?的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有?????.
a1a2an42S1219. 解：（1）当n?1时，1?2a1?a2??1?，解得a2?4
1331322（2）2Sn?nan?1?n?n?n ①
331232当n≥2时，2Sn?1?(n?1)an?(n?1)?(n?1)?(n?1) ②
3319.（本小题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1， ①?②得2an?nan?1?(n?1)an?n2?n
整理得nan?1?(n?1)an?n(n?1)，即当n?1时，
an?1anaa??1，n?1?n?1 n?1nn?1na2a1??2?1?1 21所以数列?an?是以1为首项，1为公差的等差数列 所以
an?n，即an?n2 n
2013年普通高等学校招生全国统一考试
所以数列?an?的通项公式为an?n2，n?N
*（3）因为
11111?2???（n≥2） ann(n?1)nn?1n所以
11111111111111?????2?2?2???2?1??(?)?(?)???(?) a1a2an123n42334n?1n?1?111717????? 42n4n420.（本小题满分14分）
已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c?0)到直线l:x?y?2?0的距离为上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点. （1）求抛物线C的方程；
（2）当点P(x0,y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|?|BF|的最小值. 20. 解：（1）焦点F(0,c)(c?0)到直线l:x?y?2?0的距离d? 所以抛物线C的方程为x2?4y
32，设P为直线l2?c?22?c?232，解得c?1 ?221212x1)，B(x2,x2) 4412111由（1）得抛物线C的方程为y?x，y??x，所以切线PA，PB的斜率分别为x1，x2
2422121所以PA:y?x1?x1(x?x1) ①
42121PB:y?x2?x2(x?x2) ②
42x?x2x1x2x?xxx,)，即x0?12，y0?12 联立①②可得点P的坐标为(124241y0?x1214，整理得y?1xx?1x2 又因为切线PA的斜率为x1?0101242x0?x1（2）设A(x1,1212x1?x244?x1?x2?x0 直线AB的斜率k?x1?x242121所以直线AB的方程为y?x1?x0(x?x1)
4211112整理得y?x0x?x1x0?x1，即y?x0x?y0
2224因为点P(x0,y0)为直线l:x?y?2?0上的点，所以x0?y0?2?0，即y0?x0?2
1所以直线AB的方程为y?x0x?x0?2
2
2013年普通高等学校招生全国统一考试
1212x1?1，BF?x2?1 441212122122x1x2?(x1?x2)?1 所以|AF|?|BF|?(x1?1)(x2?1)?44164112?x12x2?[(x1?x2)2?2x1x2]?1 164由（2）得x1?x2?2x0，x1x2?4y0，x0?y0?2
1222222所以|AF|?|BF|?y0?(4x0?8y0)?1?x0?y0?2y0?1?(y0?2)?y0?2y0?1
4192?2y0?2y0?5?2(y0?)2?
2219 所以当y0??时，|AF|?|BF|的最小值为
22（3）根据抛物线的定义，有AF?
21.（本小题满分14分）
设函数f(x)?(x?1)ex?kx2(k?R). （1）当k?1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当k?(,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M. 21. 解：（1）当k?1时，f(x)?(x?1)ex?x2
12f?(x)?ex?(x?1)ex?2x?x(ex?2)
令f?(x)?0，解得x1?0，x2?ln2?0 所以f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) (??,0) ? ↗ 0 0 极大值 (0,ln2) ? ↘ ln2 0 极小值 (ln2,??) ? ↗ 所以函数f(x)的单调增区间为(??,0)和(ln2,??)，单调减区间为(0,ln2)
x2（2）f(x)?(x?1)e?kx，x?[0,k]，k?(,1]
12f?(x)?xex?2kx?x(ex?2k)
f?(x)?0，解得x1?0，x2?ln(2k)
令?(k)?k?ln(2k)，k?(,1]
12??(k)?1?1k?1?≤0 kk
2013年普通高等学校招生全国统一考试
1211所以?(k)??()??0，即0?ln(2k)?k
22所以?(k)在(,1]上是增函数
所以f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) f(0)??1，f(k)?(k?1)ek?k3
(0,ln(2k)) ? ↘ ln(2k) 0 极小值 (ln(2k),k) ? ↗ f(k)?f(0)?(k?1)ek?k3?1?(k?1)ek?(k3?1)?(k?1)ek?(k?1)(k2?k?1)
?(k?1)[ek?(k2?k?1)]
因为k?(,1]，所以k?1≤0
对任意的k?(,1]，y?ex的图象恒在y?k2?k?1下方，所以ek?(k2?k?1)≤0 所以f(k)?f(0)≥0，即f(k)≥f(0)
所以函数f(x)在[0,k]上的最大值M?f(k)?(k?1)ek?k3
1212
2013年高考真题理科数学（广东卷）试卷及答案
