.
23.求通过点?1,1?的直线y?f?x?中，使得
2?0??x?f?x???dx为最小的直线方程。
2224． 求曲面z?x2?y2夹在二曲面x2?y2?y,x2?y2?2y之间的部分的面积。 25． 计算I?AB??x?c?dx?ydy??x?c??y???2232x2y2 ?c?0?，其中AB是沿着椭圆2?2?1的正向从A?a,0?到B?0,b?的一段弧。
ab26．设f(x)为可微函数，且f(0)?0,f?(0)?2，试求lim?t?0x2?y2?t2??f(x2?y2)dxdy。
ln(1?t3)27．设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?可导?0?a?b?，证明存在?1,?22?x?t?1,28．已知曲线L的方程为?2?y?4t?t?(a,b)使
f'(?1)?f'(?2)(a?b)。 2?2（Ⅱ）过点??1,0?引L的切线，求切点(x0,y0)，(t?0),（Ⅰ）讨论L的凹凸性；
并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及
x轴所围成的平面图形的面积。
高等数学竞赛
一、填空题
ax?b?，x?1?1、设函数f(x)??3x?1?x?3 ，在x?1处连续， ?4， x?1? 则常数a，b用数组(a，b)表示为（ ） 2、极限lim(cosx)的值是（ ）?x?01x3、设y?f(x)有连续的二阶导数且点(x0，f(x0))是曲线y?f(x)上的 f(x0??x)?2f(x0)?f(x0??x) 拐点则lim?( )?x?0(?x)24、f(x)?(2?x)4的三阶麦克劳林展开式的余项R3(x)?( )式中 (0???1)x
1dtdtx5、设 F(x)????01?t2，则 F(x)?? ? 01?t2 ?xsinx6、 ?dx? ? ?
01?cos2x?x?y?z?07、设曲线?2在点(11,,0)处的法平面为S，则点(0,?2,2)到S的距离是 ( ) 22?x?y?z?0y'8、设f(x,y)?arcsin，则fx(2,1)?( )
x二、选择题
9、极限limlnx?1的值为（ ）x?ex?e
A． 1 B．e?1 C．e D． 010、设a,b适合,3a2?5b,则方程,x5?2ax3?3bx?4c?0， 则必有? ?
A. 无实根 B. 有唯一实根 C. 有三个不同的实根 D. 有5个不同的实根.
.
11、半径为R的半球形水池正装满水。将水全部吸完,需作功W?? ?22 A. B. ?g?y2dy?g?(R?y)dy 003 C. ?g?y(R2?y2)dy D. ?g?ydy00RRRR
12、若?ae?xdx?1，则a?? ? 0??11 A. 1 B. 2 C. D. ?22
?x2?y2?513、曲线?在点(1,2,?3)处的切线方程为 ( ) 22?z?x?yx?1y?2z?3x?1y?2z?3x?3y?1z?5A. B.C. ??????2182?1?82?18?zyx? ( ) 14、设z?y，则?yA.
D.
x?1y?2z?3 ???218yyxyx?1 B.
??1?x2?x?12?xyx?1 C. D. yy??(lny)?y??(lny)?yy??lny?
?y??yy??y?xyxacos?015、若A.
2??Df?x,y?d???2?d???222f?rcos?,rsin??rdr，则区域D可以表示为 ( )
D.
x?y?a2
B.
2
x?y2?a2,x?0C. x2?y2?ax,a?0
2x2?y2?ax,a?0
16∑为z=2－(x+y)在xoy上方部分，
??ds?? ??A.D.??2?02?d??d??0r
021?4r2rdr1?4rrdr
2B.
?2?0d??201?4r2rdrC.?2?0d???2?r2?1?4r2rdr02
017、若
A. a?b?0
是某二元函数的全微分，则a,b的关系是 ( )
B. a?b?0 C. a?b?1 D. a?b?1
18、设曲线C是由极坐标方程r=r(θ)(θ1≤θ≤θ2)给出，则
A.
I??f?x,y?ds??c?
??f?rcos?,rsin??1?2r?r?2d? B.?f?x,y?1?y?2dx
2?2?1C.
???21f?rcos?,rsin??d? D.?f?rcos?,rsin??rd?
?1??2?ann!n?2?n?219、a为任意正的实数，若级数?n，?都收敛，有（ ） ann?1nn?211 A. a?e B. a?e C. ?a?e D. 0?a?
2220、下列级数中发散的级数是 （ ）
n????1?n??1?（A）?；（B）?；（C）?； （D）?nn?1n?1n???1?n?1n?2n?2n?2???1?n???1?nnn???1?。
一、解答题求极限1、lim(e?1?x)x?0tanx?sin3xx2 2、
?2?2cosx，x?0?f(x)?? a为何值时，f(x)在x?0处连续。 x?aex ，x?0? xdxF(x)?。 4、设在上连续，且f(x)a，b??? a(x?t)f(t)dt，x??a，b? , 试求F??(x)。 ?2sinx?cosx?5x?y????,5．设f(x,y)?? ?。6． 计算二次积分sint2dt，求fx??x?y?44?3、求
.
.
7．计算二重积分
??D1x2?y2xe??D2dxdy其中D：x2?y2?4,x2?y2?16,x2?y2?4x。
其中D：
8．计算极限二、证明题 1． 试证：
x?0lim?1t2??y2ln?x?2y?3?d?0?x?t,0?y?t。
F(t)??ln(t2?2tcosx?1)dx为偶函数。
02． 证明恒等式3．设
x?2arctan(secx?tanx)?f(x)对一切x，y 满足
3??3?在时成立。 ?x?222f(x?y)?eyf(x)?e?xf(y)，且f(x)在x?0处连续，求证：f(x)在任意x处连续。
2bbb224．设 f（x），g（x）均在［a, b］上连续，证明柯西不等式??f(x)g(x)dx????f(x)dx???g(x)dx???????a??a???a?
三、应用题 1．曲线
ex?e?xy?2与直线
x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体,
S(t)S(t)的值;(Ⅱ)计算极限lim.
t???V(t)F(t)其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).(Ⅰ)求
高等数学竞赛
一、填空
2f?x??tanx,f?gx?x?2，且g?x??.则g?x?的定义域为 . ?????41??11?3n?1?2求limarctan?n!???n?1?n????= . ?L????n?1??n?n?1??22?3?1．设
?22n??2sin2x?xf?x?2?f?x??2?tanx???2?sinx?? .
?0lim?3．设lim，则 . 4．求limx?0x?0x?0x3x2sinxx2???
0,?上的最大值为 . 5．曲线y?的拐点为 . 6．函数在fx?x?2cosx??2?1?x?2?
11?xxx27．求??2?3?dx? . 8．求?lndx? .
1?x21?x9．求
1010??1?e?dx? . 10．设fx21?e2x?x?连续，则
d2f?x?t?dt? . ?1dx?11．求
?20dx1??tanx?31? 12．由曲线y?x?,x?2及y?2所围图形的面积S? .
xrurrrurrurrr?r???u13．以向量a?m?2n和b?m?3n为边的三角形的面积为 ，其中m?5,n?3,?m,n??.
??6?2z1? . f?xy??y??x?y?,f,?具有二阶连续导数，则14．设z??x?yx?11?15．函数f?x,y,z??cos?xyz?在点?,,??处函数值增加最快的方向为 .
?33?16．求
lim?2n4n???i?1nj?5nn!isin? . 17．求lim? . ?nn??2nj?1?2n?n2.
.
18．
d?ex?1?x幂级数表达式为 . 19．求三重积分edV? . ?????dx?x?x2?y2?z2?4x2y222??1，其周长为C，则?20．设L为椭圆2xy?3x?4yds? . ???L43222?19．设f?x,y?是有界闭区域：D??x,y?x?y?a 上的
??连续函数，则
lim?1a?0?a2??f?x,y?dxdy? .
D20．把
?dx?01x20f?x?y?dy在极坐标系中进行转化：?dx?f?x2?y2?dy?
22001x2
二、解答题
1??x?ex1?x??nnn?1LL2n?1????????.
1求极限lim.2、求极限limx?0n??1?cosxn?x?a(cost?tsint),3、求曲线?上任一点的法线到原点的距离.
y?a(sint?tcost).??2g?2g?2f?2f?122??2?1，又g?x,y??f?xy,?x?y??,求2?24、设f?u,v?具有二阶连续偏导数，且满足2?x?y?u?v?2?21125、设函数f(x)连续，且?tf(2x?t)dt?arctan(x)，f(1)?1。求
?1f(x)dx. 02.
6、计算二重积分二、 证明题 1、设
??eDmaxx2,y2??dxdy，其中D???x,y?0?x?1,0?y?1?.
aa14fx?f?xdx?，并计算f?x?在??a,a??a?0?上连续，证明：??af?x?dx??0??????????1?sinxdx.
4?2、设使得
f?x?在?0,1?上连续，在?0,1?可导，且满足f?1??f??????1???1?f???.
?1k1?xxef?x?dx?k??0,1??,证明至少存在一点???0,1?，?0k111??Ln?1??12n3． 证明级数???ln?收敛，并求极限limn??n?lnnn?1?n三、综合题 1
?.
I??C???2xe?xsinydx?e?xcosy?x4dy， C?为从点?1,0?到点??1,0?的半圆y?1?x2??1?x?1?.
2??2?1．在曲线
y?x2?x?0?上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为
x轴旋转一周所成旋转体的体积.
222．计算I???zdxdy?ydzdx?xdydz,其中?为圆柱面x?y?1被z?0,z?3截的部分外侧.
切点A的坐标；过切点A的切线方程；由上述所围平面图形绕
?1，试求： 12917222与椭球面3x??y?1??z?交线上对应于x?1点处的切线方程和法线方程. 44??n?2?n?1n3．求常数项级数?的和. 3．求常数项级数?(?1)的和. n2n?1n?1n!??n?1?!??n?2?!2．在球面
?x2?y2?z2?.
高数竞赛试题集.
