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第一课 常用逻辑用语
[核心速填]
1．命题及其关系
(1)判断一个语句是否为命题，关键是： ①为陈述句； ②能判断真假．
(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同． (3)四种命题之间的关系如图所示．
2．充分条件、必要条件和充要条件 (1)定义
一般地，若p，则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；
②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p?q，
q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必
要条件，则p与r的关系不能确定．
3．含逻辑联结词的命题的真假判断 (1)p∧q：全真才真，一假则假； (2)p∨q：全假才假，一真则真； (3)p：p与p真假性相反．
4．全称量词与全称命题，存在量词与特殊命题
(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为?x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑学中通常叫
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做存在量词，并用符号“?”表示；特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为?x0∈M，p(x0)．
5．含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，则p：?x0∈M，p(x0)． (2)特称命题p：?x0∈M，p(x)，则p：?x∈M，p(x)．
[体系构建]
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[题型探究]
四种命题的关系及其真假判断 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否
命题以及判断它们的真假．
(1)当mn＜0时，方程mx－x＋n＝0有实数根； (2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．
[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假) 否命题：若mn≥0，则方程mx－x＋n＝0没有实数根．(假) 逆否命题：若方程mx－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：
逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真) 否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真) 逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)
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[规律方法] 1.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同． 2．“p∧q”的否定是“p或q”，“p∨q”的否定是“p且q”． [跟踪训练] 1．(1)给出下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x＝0，则x＝－1”的逆命题；
③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.]
(2)命题：“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
【导学号：46342039】
A．若a＋b＝0，则a＝0且b≠0 B．若a＋b≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a＋b≠0 D．若a≠0或b≠0，则a＋b≠0
D [命题“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a＋
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﹁﹁﹁﹁b2≠0”．故选D.]
充分条件、必要条件与充要条件 (1)已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝
bcos B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充分必要条件是a＝__________.
[解析] (1)由acos A＝bcos B?sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A.
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高中数学 第一章 常用逻辑用语阶段复习课学案 新人教A版选修2-1
