泛函分析论文
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。 §1 度量空间
§1.1 定义：若函数，对于
（1）（2）（3）
是一个非空集合，，有 当且仅当
；
， ；
是满足下面条件的实值
则称为上的度量，称为度量空间。
【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。
§1.2 度量空间的进一步例子
例：1、离散的度量空间
，设
是一个非空集合，
，当
。
2、序列空间 ，
，，
是度量空间
是度量空间 是度量空间
3、有界函数全体4、连续函数
5、空间，是度量空间 §1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间
§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果
，使
列
的极限。
，则称点列
是
是中点列，如果
中的收敛点列，x是点
同样的类似于，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。
§1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为
X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。
即：
§1.3.3 例子 1、 n维欧氏空间
是可分空间；
的可数稠密子集；
2、 坐标为有理数的全体是3、
是不可分空间。
§1.4 连续映射 §1.4.1定义：设
§1.4.2 证明映射连续性的方法
1、 定义法 2、 邻域法：对
的每一个
—邻域U,必有
的某个
—邻域V使
, 其中
3、 极限观点（定理一）：
表示V在映射T作用下的像。
4、 定理二:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射 Y中任意开集
M 的原像是X中的开集。
5、 定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。
§1.4.3 例题
例1、 设X,Y,Z为三个度量空间，Z的连续映射，证明复合映射
证明：设G是Z中开集，因g是Y到Z的连续映射,
又因即
是X到Y中的连续映射，
是X中的开集，即
是X到Y中的连续映射，
是Y到
是X到Z的连续映射。
是Y中开集， 是X中的开集， 连续。
【分析】此题就是利用定理二来证明的。 §1.5 柯西点列和完备度量空间 §1.5.1 定义：设
，
正整数
是度量空间，,使当
是X中点列，如果对
，则称中收敛，那
时，必有中每个点列都在
是X中的柯西点列，如果度量空间么称
是完备的度量空间。
§1.5.2 相关结论
1、全体按绝对值距离构成的空间不完备
2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列 3、柯西点列一定是有界点列
4、定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性） 【注意】开子空间不完备。 例：1、2、3、
是完备度量空间； 是完备度量空间； 是完备的度量空间；
，
作为
的子空间不是完备度
4、实系数多项式全体量空间；
§1.6 度量空间的完备化
泛函分析小论文[1]
