第8讲 函数与方程
基础知识整合
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使□
间D)的零点．
(2)三个等价关系
02x轴有交点?函数y＝f(x)有□03方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与□
零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
04如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有□05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间□06f(c)＝0，这个□07c也就是方程f(x)＝0的根． □
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
08(x1,0)，(x2,0) □102 □09(x1,0) □111 □Δ>0 Δ＝0 Δ<0 无交点 120 □
(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)的闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) C．(0,1) 答案 B
解析 易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．
2．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为( ) A．2 C．4 答案 B
解析 令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．
2
3．函数f(x)＝2x－x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) C．(0,3) 答案 C
B．(－1,0) D．(1,2)
B．3 D．5
B．(1,2) D．(0,2)
解析 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0 4．(2019·河南郑州模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( ) A．0 C．2 答案 C 解析 作出函数y＝|x－2|与g(x)＝ln x的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f(x)在定义域内有2个零点．故选C． B．1 D．3 5．函数f(x)＝ex＋3x的零点有________个． 答案 1 解析 ∵f(x)＝ex＋3x在R上是单调递增函数，且f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝1>0，∴函数f(x)有1个零点． ?1? 6．函数y＝?2?|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________. ??答案 (0,1) ?1??1? 解析 如图，作出y＝?2?|x|的图象．则当0 ???? |x| ?1? 的图象有两个交点，即函数y＝?2?|x|－m有两个零点． ?? 核心考向突破
第2章第8讲 函数与方程
