第五节 基本不等式
[最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式：ab≤
a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
2
2
?a＋b?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤??
?2?
3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
4[常用结论]
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
2
s2
baab?a＋b?≤a＋b.
2．ab≤??2?2?
3.
21＋
≤ab≤≤
12
2
22
a＋ba2＋b2
2
(a＞0，b＞0)．
ab
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a＋b≥2ab与
2
2
a＋b2
≥ab成立的条件是相同的．
- 1 -
( )
13
(2)若a>0，则a＋2的最小值为2a. ( )
a4
(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4. ( )
sin x(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件． [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 C．81
2
B．77 D．82
xyyx( )
?x＋y?＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
C [xy≤??
?2?
1
2．若x<0，则x＋( )
xA．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 D [因为x<0，
1
所以－x>0，－x＋≥21＝2，
－x当且仅当x＝－1时，等号成立， 1
所以x＋≤－2.]
x3．函数f(x)＝x＋
1
(x>2)的最小值为________． x－2
1
＋2≥2 x－2
1
4 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋
1
x－2×＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]
x－2x－2
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m. 25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y， 1
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
2
2
- 2 -
x＋10－x?2?则y＝x(10－x)≤??＝25， 2??
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
考点1 利用基本不等式求最值
配凑法求最值
配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添
ab项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋x(a＞0)，a＋ab的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是
( )
9
A. 8C．3
9B. 4D．9
x2＋2
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
x－1
51
(3)已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________.
44x－5(1)C (2)23＋2 (3)7
31
[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋23
1?3a＋a＋3b?21?6?22
3b)≤?＝×??＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大?23?3?3?2?值是3.
(2)∵x>1，∴x－1>0，
x2＋2x2－2x＋1＋2x－2＋3
∴y＝＝
x－1x－1
＝
x－1
2
＋2x－1＋3
x－1
＝(x－1)＋
3
＋2≥23＋2. x－1
3
，即x＝3＋1时，等号成立． x－1
当且仅当x－1＝
5
(3)∵x>，∴4x－5>0.
4
- 3 -
y＝4x＋
11＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7. 4x－54x－5
13
当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．
4x－523
即x＝时，ymin＝7.]
2
551
[母题探究] 把本例(3)中的条件“x>”，改为“x<”，则y＝4x＋的最大值为
444x－5________，此时x＝________.
1?51?3 1 [因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x＋＝－?5－4x＋＋5≤－
5－4x?44x－5??2
1
5－4x×＋5＝－2＋5＝3.
5－4x1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
5－4x1
故y＝4x＋的最大值为3.此时x＝1.]
4x－5
(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a＋
3?a＋a＋3b?2
??3b)≤?2?，当且仅当a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a＝2，b＝0时，a(a＋3b)的最大9
值为4，从而错选B.
(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)．
常数代换法求最值 常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．
11
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．
11?11??ba?4 [因为a＋b＝1，所以＋＝?＋?(a＋b)＝2＋?＋?≥2＋2
ab?ab??ab?
ba·＝2＋2＝4.当且ab仅当a＝b时，等号成立．]
[母题探究]
- 4 -
?1??1?1．若本例条件不变，求?1＋??1＋?的最小值．
?
a??
b?
?1??1??a＋b??1＋a＋b?
[解] ?1＋??1＋?＝?1＋???
?
a??
b??
a??
b?
＝?2＋?·?2＋?
??
b??a??a?b?
?ba?＝5＋2?＋?≥5＋4＝9.
?ab?
1
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2
11
2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．
ab12
[解] 因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.
33
11?11??12?12a2b所以＋＝?＋??a＋b?＝＋＋＋≥1＋2
ab?ab??33?333b3a当且仅当a＝2b时，等号成立．
a2b22·＝1＋. 3b3a3
ab 常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求x＋y的最值”的问题，
ab?ab?x＋y?先将x＋y转化为??x＋y?·t，再用基本不等式求最值．
[教师备选例题]
1|a|
设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．
2|a|b－2 [∵a＋b＝2，b>0， ∴＝
1|a|2|a|a＋b|a|＋＝＋＝＋ 2|a|b4|a|b4|a|bab|a|a＋＋≥＋24|a|4|a|b4|a|b|a|a×＝＋1， 4|a|b4|a|
b|a|
当且仅当＝时等号成立．
4|a|b又a＋b＝2，b>0， ∴当b＝－2a，a＝－2时，
1|a|
＋取得最小值．] 2|a|b11
(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则a－1＋2b的最小值为( )
- 5 -
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与
