圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第13章 二维随机变量及其分布
13.1 考点归纳
一、二维随机变量的联合分布 1．二维随机变量的联合分布函数
设(?,?)是二维随机变量，对于任意的实数x，y，称事件???x,??y?的概率
P(??x,??y)为(?,?)的联合分布函数，记为F(x,y)，即F(x,y)=P(??x,??y)．
2．联合分布函数的性质 （1）0?F(x,y)?1；
（2）固定x，F(x,y)对于y单调非减；固定y，F(x,y)对于x单调非减； （3）F(??,y)=limF(x,y)=0,F(x,??)=limF(x,y)=0，
x→??y→??F(??,??)=limF(x,y)=0,F(+?,+?)=limF(x,y)=1；
x→??y→??x→+?y→+?（4）对任意的x（或y）右连续； （5）对任意的a?b,c?d，有
P(a???b,c???d)=F(b,d)?F(b,c)?F(a,d)+F(a,c)
3．二维离散型随机变量的分布
若二维随机变量(?,?)可能取值(xi,yj)的概率为pij，称
P(?=xi,?=yj)=pij,(i,j=
1,2,…)为(?,?)的联合分布律，其中pij满足：
（1）0?pij?1；
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ??pj=1i=1+?+?ij=1．
4．二维连续型随机变量的联合密度函数
对于二维随机变量(?,?)的分布函数F(x,y)，如果存在非负函数?(x,y)，使对于任意的实数x,y，有F(x,y)=??xy?????(s,t)dsdt，则称(?,?)为二维连续随机变量，?(x,y)称
为(?,?)的联合密度函数．
5．联合密度函数的性质 （1）?(x,y)?0； （2）
????+?+????(x,y)dxdy=1；
(?,?)落在区域D内的概率为 （3）对于xy平面上的任一区域D：P?(?,?)?D?=???(x,y)dxdy
D（4）?(x,y)在连续点(x,y)处有?(x,y)=
二、二维随机变量的边缘分布及独立性 1．二维随机变量的边缘分布函数
?F(x,y)．
?x?y2设F(x,y)为(?,?)的联合分布函数，则(?,?)关于?和?的边缘分布函数分别为
F?(x)=F(x,+?)=P(??x,??+?)=P(??x) F?(y)=F(+?,y)=P(??+?,??y)=P(??y)
2．二维离散型随机变量的边缘分布
设(?,?)的联合分布律为P(?=xi,?=yj)=P,2，…)，则(?,?)关于?的边ij(i,j=1缘概率分布为P(?=xi)=?P(i=1,2,…)ijj，关于
?的边缘概率分布为
P(?=yj)=?P,2,…)． ij(j=1i 2 / 13
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 3．二维连续型随机变量的边缘分布
设?(x,y)为(?,?)的联合密度函数，则(?,?)关于?的边缘密度函数为
??(x)=???+??(x,y)dy，(?,?)关于?的边缘密度函数为??(y)=??(x,y)dx．
??+?4．随机变量的独立性
（1）设F(x,y)是二维随机变量(?,?)的联合分布函数，则(?,?)相互独立的充分必要条件为：对于任意的实数x,y，恒有F(x,y)=F?(x)F?(y)．
（2）设二维离散型随机变量(?,?)的联合分布律为
P(?=xi,?=yj)=P,2，…) ij(i,j=1则?与
?相互独立的充分必要条件为对于一切可能值(xi,yj)，均有
P(?=xi,?=yj)=P(?=xi)?P(?=yj)．
（3）二维连续型随机变量(?,?)的联合密度函数为?(x,y)，则?与?相互独立的充分必要条件为：对于任意的实数x,y，恒有?(x,y)=??(x)??(y)．
三、二维随机变量函数的分布 1．离散型随机变量函数的分布
设?,?是两个相互独立的离散型随机变量，xi,yj分别为?,?的可能值，则?=?+?也为离散型随机变量，且?的可能值为xi+yj(i,j=1,2,…)．
在已知?,?的分布的情况下，?=?+?的分布律由下面的卷积公式给出：
P=(?=z)=?P(?=xi)P(?=z?xi)
或P(?=z)=?P(?=z?yi)P(?=yi)
重要结论：设?1,?2,…,?n为相互独立的随机变量，且?i~P(?i)(i=1,2,…,n)，则
i=1??i~P(??i)，即相互独立、服从泊松分布的随机变量之和服从泊松分布．
i=1nn 3 / 13
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2．连续型随机变量函数的分布
设?,?为两个相互独立的连续型随机变量，已知其密度函数分别为??(x),??(y)，则
?=?+?的密度函数由下面的卷积公式给出：
??(z)=?????(x)??(z?x)dx
或??(z)=重要结论：设
nnn+??+?????(z?y)??(y)dy
?i~N(?i,?i2)，则
?1,?2,,?n为相互独立的随机变量，且
i=1??i~N(??i,??i)，即相互独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量．
i=1i=1
四、常见二维随机变量的分布 1．二维均匀分布
若二维随机变量(?,?)落在平面区域D内任意子区域的概率只与子区域的面积成正比，而与子区域的位置无关，则(?,?)服从区域D上的均匀分布，其密度函数为
?1?,(x,y)?D?(x,y)=?A（其中A为区域D的面积）
??0,(x,y)?D1?,a?x?b,c?y?d?若区域D为矩形区域，则?(x,y)=?(b?a)(d?c)
?0,其他?结论：若二维随机变量(?,?)在矩形区域D=(x，y)a?x?b,c?y?d上服从均匀分布，则?与?相互独立，且分别在区间[a，b]和[c，d]上服从均匀分布；显然反之也成立．
2．二维正态分布
二维随机变量(?,?)的联合密度函数为
??
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其中?均为常数，且?1?0,?2?0,参数?为二维正态随机变量(?,?)的相关系数，因此由(?,?)的联合密度?(x,y)的表达式可以知道，?=0的充要条件是?与?相互独立．但需要指出的是，对于一般的随机变量(?,?)而言，???=0可以得到?,?不相关，但得不到?,?相互独立．
另外，二维正态随机变量(?,?)的边缘分布仍为正态分布，且
2?~N(?1,?12),?~N(?2,?2)．
13.2 典型题（含历年真题）详解
一、选择题
1．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则P{X2+Y2?1}=（ ）.[2012研]
1 41B．
2A．C．D．
?8
? 4【答案】D
【解析】由于是均匀分布，所以面积比例（如图所示）就是所求概率，即得
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全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-二维随机变量及其分布(圣才
