圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第13章 二维随机变量及其分布
13.1 考点归纳
一、二维随机变量的联合分布 1.二维随机变量的联合分布函数
设(?,?)是二维随机变量,对于任意的实数x,y,称事件???x,??y?的概率
P(??x,??y)为(?,?)的联合分布函数,记为F(x,y),即F(x,y)=P(??x,??y).
2.联合分布函数的性质 (1)0?F(x,y)?1;
(2)固定x,F(x,y)对于y单调非减;固定y,F(x,y)对于x单调非减; (3)F(??,y)=limF(x,y)=0,F(x,??)=limF(x,y)=0,
x→??y→??F(??,??)=limF(x,y)=0,F(+?,+?)=limF(x,y)=1;
x→??y→??x→+?y→+?(4)对任意的x(或y)右连续; (5)对任意的a?b,c?d,有
P(a???b,c???d)=F(b,d)?F(b,c)?F(a,d)+F(a,c)
3.二维离散型随机变量的分布
若二维随机变量(?,?)可能取值(xi,yj)的概率为pij,称
P(?=xi,?=yj)=pij,(i,j=
1,2,…)为(?,?)的联合分布律,其中pij满足:
(1)0?pij?1;
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ??pj=1i=1+?+?ij=1.
4.二维连续型随机变量的联合密度函数
对于二维随机变量(?,?)的分布函数F(x,y),如果存在非负函数?(x,y),使对于任意的实数x,y,有F(x,y)=??xy?????(s,t)dsdt,则称(?,?)为二维连续随机变量,?(x,y)称
为(?,?)的联合密度函数.
5.联合密度函数的性质 (1)?(x,y)?0; (2)
????+?+????(x,y)dxdy=1;
(?,?)落在区域D内的概率为 (3)对于xy平面上的任一区域D:P?(?,?)?D?=???(x,y)dxdy
D(4)?(x,y)在连续点(x,y)处有?(x,y)=
二、二维随机变量的边缘分布及独立性 1.二维随机变量的边缘分布函数
?F(x,y).
?x?y2设F(x,y)为(?,?)的联合分布函数,则(?,?)关于?和?的边缘分布函数分别为
F?(x)=F(x,+?)=P(??x,??+?)=P(??x) F?(y)=F(+?,y)=P(??+?,??y)=P(??y)
2.二维离散型随机变量的边缘分布
设(?,?)的联合分布律为P(?=xi,?=yj)=P,2,…),则(?,?)关于?的边ij(i,j=1缘概率分布为P(?=xi)=?P(i=1,2,…)ijj,关于
?的边缘概率分布为
P(?=yj)=?P,2,…). ij(j=1i 2 / 13
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 3.二维连续型随机变量的边缘分布
设?(x,y)为(?,?)的联合密度函数,则(?,?)关于?的边缘密度函数为
??(x)=???+??(x,y)dy,(?,?)关于?的边缘密度函数为??(y)=??(x,y)dx.
??+?4.随机变量的独立性
(1)设F(x,y)是二维随机变量(?,?)的联合分布函数,则(?,?)相互独立的充分必要条件为:对于任意的实数x,y,恒有F(x,y)=F?(x)F?(y).
(2)设二维离散型随机变量(?,?)的联合分布律为
P(?=xi,?=yj)=P,2,…) ij(i,j=1则?与
?相互独立的充分必要条件为对于一切可能值(xi,yj),均有
P(?=xi,?=yj)=P(?=xi)?P(?=yj).
(3)二维连续型随机变量(?,?)的联合密度函数为?(x,y),则?与?相互独立的充分必要条件为:对于任意的实数x,y,恒有?(x,y)=??(x)??(y).
三、二维随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
设?,?是两个相互独立的离散型随机变量,xi,yj分别为?,?的可能值,则?=?+?也为离散型随机变量,且?的可能值为xi+yj(i,j=1,2,…).
在已知?,?的分布的情况下,?=?+?的分布律由下面的卷积公式给出:
P=(?=z)=?P(?=xi)P(?=z?xi)
或P(?=z)=?P(?=z?yi)P(?=yi)
重要结论:设?1,?2,…,?n为相互独立的随机变量,且?i~P(?i)(i=1,2,…,n),则
i=1??i~P(??i),即相互独立、服从泊松分布的随机变量之和服从泊松分布.
i=1nn 3 / 13
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2.连续型随机变量函数的分布
设?,?为两个相互独立的连续型随机变量,已知其密度函数分别为??(x),??(y),则
?=?+?的密度函数由下面的卷积公式给出:
??(z)=?????(x)??(z?x)dx
或??(z)=重要结论:设
nnn+??+?????(z?y)??(y)dy
?i~N(?i,?i2),则
?1,?2,,?n为相互独立的随机变量,且
i=1??i~N(??i,??i),即相互独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量.
i=1i=1
四、常见二维随机变量的分布 1.二维均匀分布
若二维随机变量(?,?)落在平面区域D内任意子区域的概率只与子区域的面积成正比,而与子区域的位置无关,则(?,?)服从区域D上的均匀分布,其密度函数为
?1?,(x,y)?D?(x,y)=?A(其中A为区域D的面积)
??0,(x,y)?D1?,a?x?b,c?y?d?若区域D为矩形区域,则?(x,y)=?(b?a)(d?c)
?0,其他?结论:若二维随机变量(?,?)在矩形区域D=(x,y)a?x?b,c?y?d上服从均匀分布,则?与?相互独立,且分别在区间[a,b]和[c,d]上服从均匀分布;显然反之也成立.
2.二维正态分布
二维随机变量(?,?)的联合密度函数为
??
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其中?均为常数,且?1?0,?2?0,参数?为二维正态随机变量(?,?)的相关系数,因此由(?,?)的联合密度?(x,y)的表达式可以知道,?=0的充要条件是?与?相互独立.但需要指出的是,对于一般的随机变量(?,?)而言,???=0可以得到?,?不相关,但得不到?,?相互独立.
另外,二维正态随机变量(?,?)的边缘分布仍为正态分布,且
2?~N(?1,?12),?~N(?2,?2).
13.2 典型题(含历年真题)详解
一、选择题
1.设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则P{X2+Y2?1}=( ).[2012研]
1 41B.
2A.C.D.
?8
? 4【答案】D
【解析】由于是均匀分布,所以面积比例(如图所示)就是所求概率,即得
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全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-二维随机变量及其分布(圣才
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