。 。 专题能力提升练 七 三角恒等变换与解三角形
(45分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共30分) 1.
cos 15°-4sin15°cos 15°=
2
( )
A. B. C.1
2
D.
【解析】选D.===
cos 15°-4sin15°cos 15°
cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15° cos 15°-2sin 15°sin 30° cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=
.
2.(2024·永州二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若则△ABC是 ( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
+ =2a,
【解析】选C.因为+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sin A≥
2=2,
所以sin A=1,当=时,“=”成立,
所以A=,b=c,
所以△ABC是等腰直角三角形.
1
3.(2024·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A.4
B.
C.
D.2
【解析】选A.cos C=2cos2
-1=2×-1=-,
在△ABC中,
由余弦定理AB2=CA2+CB2
-2CA·CB·cos C,
得AB2
=25+1-2×1×5×=32,
所以AB=4
.
4.若向量a=
,向量b=(1,sin 22.5°),则a·b=( A.2 B.-2
C.
D.-
【解析】选A.由题得a·b=tan 67.5°+
=tan 67.5°+
=tan 67.5°-tan 22.5°
=tan 67.5°-
=
=2×=2×
=2.
【加固训练】
)
2
(2024·会宁一中一模)已知x为锐角,A.[-2,2] B.(1,C.(1,2]
)
=,则a的取值范围为 ( )
D.(1,2)
【解析】选C.由=,可得:
a=sin x+cos x=2sin,
又x∈,所以x+∈,
所以a的取值范围为(1,2].
5.在锐角△ABC中,A=2B,则A.(-1,3)
的取值范围是 ( )
C.(
,
)
D.(1,2)
B.(1,3)
【解析】选D.==
==3-4sinB.
2
因为△ABC是锐角三角形,
所以
得 2 . 所以=3-4sinB∈(1,2). 2 6.(2024·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 3 ,则C= ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.由题意S△ABC=absin C=, 即sin C=, 由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1, 又C∈(0,π),所以C=. 【加固训练】 (2024·濮阳一模) 已知△ABC中,sin A,sin B,sin C成等比数列,则取值范围是( ) 的 A. B. C.(-1, ] D. sinB=sin A·sin C,即 2 【解析】选B.由已知可知b=ac,cos 2 B==≥=, 即0 原式==, 4 设t=sin B+cos B, 即原式==t-(1 于,所以原式的取值范围是. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.(2024·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tan α=________. 【解析】因为tan=tan=, 所以=,解得tan α=. 答案: 【加固训练】 (2024·中山市一模) 已知cos=,则sin 2α=________. 【解析】sin 2α=sin =-cos2 =1-2cos 2 =1-2×=-. 答案:- 8.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°, BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为________. 5 【解题指南】首先根据余弦定理找出边BC与AC之间的关系,用边BC表示出边AC,结合函数知识即可求解. 【解析】由题意设BC=x(x>1)米, AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米, 在△ABC中,由余弦定理得: AB=AC+BC-2AC·BCcos 60°,即 (t-0.5)=t+x-tx,化简并整理得: 2 2 2 2 2 2 t=(x>1),即t=x-1++2, 因为x>1,故t=x-1+答案:2+ +2≥2+,当且仅当x=1+时取等号,此时取最小值2+. 三、解答题(每小题10分,共40分) 9.(2024·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB. (2)若DC=2 ,求BC. 【解析】(1)在△ABD中, 由正弦定理得=. 由题设知,=, 所以sin∠ADB=. 6 由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==. (2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 在△BCD中,由余弦定理得BC=BD+DC-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2所以BC=5. 222 ×=25. 10.如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上. (1)若∠ADC=,求AD的长. (2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值. 【解题指南】(1)首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的长.(2)首先利用三角形面积间的关系求得S△ABC,然后利用三角形面积公式结合 余弦定理即可求得的值. 【解析】(1)在三角形中,因为cos B=, 所以sin B=, 在△ABD中,由正弦定理得=, 又AB=2,∠ADB=,sin B=. 7 所以AD=. (2)因为BD=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC, 又S△ADC=,所以S△ABC=4, 因为S△ABC=AB·BCsin∠ABC,所以BC=6, 因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD, S△ABD=2S△ADC,所以 =2·, 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2 -2AB·BCcos∠ABC. 所以AC=4,所以=2· =4. 11.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2 x-1(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值. (2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值. 【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2 x-1 = (2sin xcos x)+(2cos2 x-1) =sin 2x+cos 2x=2sin, 所以函数f(x)的最小正周期为π; 8 因为x∈, 所以2x+∈, sin∈, 所以函数f(x)=2sin在区间上的最大值为2,最小值为-1. (2)由(1)可知f(x0)=2sin, 又因为f(x0)=,所以sin=, 由x0∈,得2x0+∈, 从而cos=-=-, 所以cos 2x0=cos =coscos +sinsin = 12.在△ABC中,D是边BC上的点,AB=AD=(1)求sin B. (2)若AC=4,求△ADC的面积. ,cos∠BAD=. 【解题指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出结果.(2)利用(1)的结论和余弦定理求出三角形的面积. 【解析】(1)在△ABD中,BD=AB+AD-2AB·AD·cos∠BAD=7+7-2×得BD=2 222 ××=12, . 9 由cos∠BAD=,得sin∠BAD=, 在△ABD中,由正弦定理得=, 所以sin B=×=. (2)因为sin B=,B是锐角,所以cos B=, 设BC=x,在△ABC中, AB+BC-2AB·BC·cos B=AC, 2 2 2 即7+x-2·x·化简得:x-2解得x=3 2 2 ·x-9=0, =16, 或x=--2 (舍去), = , 则CD=BC-BD=3 由∠ADC和∠ADB互补, 得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=所以△ADC的面积 , S=·AD·DC·sin∠ADC=×【加固训练】 ××=. (2024·肇庆二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为acsin 2B. (1)求sin B的值. (2)若c=5,3sinC=5sinB·sinA,且BC的中点为D,求△ABD的周长. 2 2 2 【解析】(1)由S△ABC=acsin B=acsin 2B, 10 得sin B=2sin B·cos B, 因为0 所以sin B>0,故cos B=, 又sinB+cosB=1,所以sin B= 2 2 2 22 . 2 2 (2)由(1)和3sinC=5sinB·sinA得16sinC=25sinA, 由正弦定理得16c=25a, 2 2 因为c=5,所以a=4,BD=a=2, 在△ABD中,由余弦定理得:AD=c+BD-2c·BD·cos B=5+2-2×5×2×=24, 所以AD=2 . . (建议用时:50分钟) 1.(2024·石家庄一模)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之, 22222 所以△ABD的周长为c+BD+AD=7+2 以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S=,c>b>a), 并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为 ( ) A.82平方里 C.84平方里 B.83平方里 D.85平方里 【解析】选C.由题意可得:a=13,b=14,c=15代入: S= 11 = 则该三角形田面积为84平方里. =84, 2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin的面积的最大值为 ( ) =1,且a=2,则△ABC A. B. C. D.2 【解析】选B.sin=,-=,A=,由于a=2为定值, 由余弦定理得4=b+c-2bccos 22 ,即4=b+c+bc.根据基本不等式得4=b+c+bc≥ 2222 2bc+bc=3bc,即bc≤,当且仅当b=c时,等号成立. S△=bcsin A≤··=. 3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0,则边b=________. 【解析】 由sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0, 得sin Acos B+cos Asin B=csin B, 所以sin C=csin B,即=sin B, 由正弦定理答案:1 =,故b==1. 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若3a=2b+c,则 222 的最大值为________. 12 【解析】因为3a=2b+c,所以3a=3b-b+3c-2c, 所以b+2c=3(b+c-a)=6bccos A, 2 2 2 2 2 22222222 所以==tan A. 由题得a= 2 ,所以 cos A= ==≥=, 所以tan A=≤=,当且仅当b=c时取等号. 所以的最大值为. 答案: 【加固训练】 (2024·衡水中学模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 a=,(b+c-3)tan A= 22 bc,2cos 2 =(-1)cos C,则△ABC的面积等于 ________. 【解析】条件(b+c-3)tan A=即为(b+c-a)tan A= 2 2 2 2 2 bc bc, bc, 由余弦定理得2bccos Atan A= 所以得sin A= , 13 又A为锐角,所以A=. 又2cos 2 =1+cos(A+B) =1-cos C=( -1)cos C, 所以cos C=,得C=,故B=. 在△ABC中,由正弦定理得=, 所以c===. 故△ABC的面积 S=acsin B=×××sin =. 答案: 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2 -bc. (1)求sin A. (2)若a=2,且sin B,sin A,sin C成等差数列,求△ABC的面积. 【解析】(1)由(b-c)2=a2 -bc, 得b2+c2-a2 =bc, 即 =,由余弦定理得cos A=, 14 因为0 (2)由sin B,sin A,sin C成等差数列,得sin B+sin C=2sin A, 由正弦定理得b+c=2a=4, 所以16=(b+c),所以16=b+c+2bc. 2 2 2 由(1)得16=a+bc,所以16=4+bc, 2 解得bc=, 所以S△ABC=bcsin A=××=. 6.(2024·太原一模)△ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 =+. (1)求sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)的最大值. (2)若b= ,当△ABC的面积最大时,求△ABC的周长. 【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解. 【解析】(1)由=+得: = a=bcos C+csin B, , 即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=; 由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)= (sin A+cos A)+sin Acos A, 令t=sin A+cos A,原式=t+ 2 t-, 15 当且仅当A=时,上式取最大值,最大值为. (2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2 -2accos B, 即2=a2 +c2 -ac≥(2- )ac,ac≤2+ , 当且仅当a=c=等号成立;Smax=, 周长L=a+b+c=2 + . 7.(2024·唐山二模) 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC= ∠CAB=90°,设∠DAC=θ. (1)若θ=60°,求BD 的长度; (2)若∠ADB=30°,求tan θ. 【解题指南】(1)在△ABD中,利用余弦定理直接求出BD. (2)在△ABD中,写出正弦定理再化简即得解. 【解析】(1)由题意可知,AD=1. 在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1, 由余弦定理可知, BD2 =(2)2+12 -2×2×1×=19, BD= . (2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ, 在△ABD中,由正弦定理可知, =, 16 所以=4,所以tan θ=. 17
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