教师辅导讲义
学员编： 学员姓名： 授课主题 授课类型 教学目标 生活中的问题。 年 级：六年级 辅导科目：奥数 课 时 数：3 教师： 第15讲——抓“不变量”解题 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想解决现实授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。 典例分析 考点一：总量不变 题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。 例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本? 【解析】这道题上下层都发生了变化,但总数量不变,可把总数量看作单位“1”,抓住总数量不变,根据上层与下层的数量比是7:8知上层占总数的7/15,又根据上层与下层的数量比是8:7，知上层占总数的8/15,列式:10÷(8/15-7/15)=150（本）,150本为总数量,150÷(7+8)=10（本）7×10=70（本）8×10=80（本）。 例2、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？ 【解析】小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1)倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) ÷(3+1)=62本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78（本）。可以验证一下：(108+78)÷(140-78)=186÷62=3，答案正确。 例3、有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？ 【解析】根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单位“1”。抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是2:3,知道上层书占总数的2/5；又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10，两人故事书的总本数是：15÷（2/5-3/10）=150（本），所以上层原有书150×2/5=60（本），下层原有书150-60=90（本）。 考点二：相差量不变 题中的两个量同时增加，或者同时减少，但是这两个量的差始终保持不变。根据这个不变的差量，就可以解决问题了。 例1、有一个书架,上层与下层的数量比是7:8,上、下层同时都拿走10本后,剩下上层与下层本数的比是13:15,求原来上、下层各有多少本? 【解析】这道题上下层都发生了变化,但它们的差不变,可把它们的差看作单位“1”,抓住相差量不变,根据上层与下层的数量比是7:8，知上层占差的7/1,又根据上层与下层的数量比是13:15，知上层占差的13/2,列式:10÷(7/1-13/2)=20本,20÷(8-7)=20本,20×8=160（本）,20×7=140（本）。 例2、今年琪琪5岁，妈妈32岁，再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍？ 【解析】不论经过多少年，琪琪和妈妈的年龄差都是不变的。今年妈妈与琪琪的年龄差为32-5=27（岁）,等于妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍时的年龄差，所以27岁对应的是那一年琪琪岁数的（4-1）倍。那一年琪琪的岁数是（32-5）÷（4-1）=9（岁），经过的年限是：9-5=4（年）。 例3、用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克，如果倒进9杯水，连瓶共重920克，求空瓶的重量。 【解析】随着倒进的杯数不同，瓶里水的重量和总重量都在变化，但是不管倒进几杯水，每一杯水的重量都是不变的，所以，（920-680）克就正好是（9-6）杯水的重量。对应相除就能求出1杯水的重量，（920-680）÷（9-6）=80（克）从而就可以求出空瓶的重量。920-80×9=200（克）。 考点三：部分量不变 这类应用题的特点是：两个量中的一个量发生了变化，而另一个量不变。解题时可以把这个不变的量作为解题突破口，寻找解题方法。 例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现又拿来10本书放到上层,这时上层与下层的比是15:16,求原来上、下层各有多少本? 【解析】这道题中,由于从外面拿10本书放到上层,上层的数量发生了变化,而下层本数不变,可把下层本数看成单位“1”,抓住部分量不变,根据原来上层与下层书的数量比是7:8,知上层本数占下层的7/8,放入10本后,上层本数占下层的15/16,也就是下层的(15/16-7/8)是10本,列式:10÷(15/16-7/8)=160本,160本为原下层的本数,上层为160/8×7=140本。 例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱？ 【解析】题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，我们可以把小明的钱数看作单位“1”。这时“小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后，这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”，再根据题中前两个条件可知，100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。因此小明的钱数是100÷1/3=300(元)，小军原有钱数是300×3/4=400（元）。 例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？ 【解析】从男生转走了4名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名)。 P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 ? 课堂狙击 1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？ 【解析】这道题中,据六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，知女生有56×3/7=24（人），由于女生后来人数发生了变化，而男生人数一直没有变化，抓住不变量男生人数，男生人数为56-24=32（人），据又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29，知男生人数占后来全班人数的（1-13/29）=16/39，后来全班人数为32÷（1-13/29）=58（人），58-56=2（人），得出又转入女生2人。列式：56×3/7=24（人），56-24=32（人），1-13/29=16/39，32÷（1-13/29）=58（人），58-56=2（人）。 2、某工程，由甲先做了12天，再由甲、乙两人合做，完成任务时，甲做了这项工程的5/8 ，甲每天的工作量是乙的 2/3 ，假如这项工程由甲单独做，几天完工？ 【解析】从题中条件可知，这项工程在由甲先做了12天后，剩下的工程是由甲、乙两人合做，才完成剩下的工程，甲、乙两人做的时间是相等的，这是一个不变的量。另外由题意明白，甲每天的工作量是乙的2/3 ，因为这项工程，甲做了其中的5/8 ，乙则做了其中的：1－5/8 ＝3/8 ，在乙完成这项工程的3/8 这段时间里，甲只能完成这项工程的：3/8 × 2/3 ＝1/4 ，即可得，在甲先做的12天的这段时间里，完成了工程的：5/8－1/4 ，因此可得，甲单独完成这项工程用的时间是：12÷（5/8 －1/4 ）= 32（天）。 3、王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。两个数的积究竟是多少? 【解析】91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。 抓住：一个因数(乙数)没有变 ，乙是91和175的公约数；91÷7=13……王进看错了的甲数。 175÷7=25……张明看错了的甲数。15×7=105。 4、如果给分数的分子加上一个数，又从它的分母中减去同一个数，原分数就变为19，求所加(减)的这个数。 45【解析】变化前后分子分母的和不变，原分数分子分母比为19︰45，分子分母子的和的总份数为19+45=64份；新分数分子分母比为3︰5，分子分母的和的总份数为3+5=8份。原来总份数64份和现在总份数8份所表示的量应该是相同的，把3︰5改为24︰40，这样分子多了24－19=5，分母少了45－40=5，因而所加(减)的这个数是5。 5、有浓度为95%的酒精溶液600克，现要加水稀释成浓度为75%的酒精，求加水后酒精溶液的重量。 【解析】加水稀释，说明纯酒精不变，原来纯酒精与溶液的比是95︰100即19︰20，纯酒精份数为19份；加水后纯酒精与溶液的比是75︰100即3︰4，纯酒精份数为3份。原来纯酒精份数为19份和现在纯酒精份数为3份所表示的量应该是相同的，把原来19︰20改为57︰60，把3︰4改为57︰76，这样原来酒精溶液所表示的份数为60份，因而原来酒精溶液600克对应的份数是60份, 而加水后溶液份数为76份.加水后酒精溶液的重量600÷60×76=760。 ? 课后反击 1、育才小学六（1）班原有女生26人，其中女生人数占全班人数的13/29，现又转出若干名女生，这时，女生人数占全班的3/7。问又转出多少名女生？ 【解析】这道题中,据六（1）班原有女生26人，其中女生人数占全班人数的13/29，知全班人数为26÷13/29=58
小学奥数教案-第15讲-抓“不变量”解题（教） - 图文
