数学与统计学院
2007年12月
一. (20分) 判断下面方程的类型并通过自变量的变换将其化为标准型
二. (15) 利用叠加原理, 齐次化原理(Duhamel 原理) 叙述如下弦振动方程Cauchy 问 题
的求解过程, 并写出解的表达式.
三. (20分) 用傅里叶(Fourier) 变换法求解如下一维热传导方程
四. (20分) 用分离变量法求解弦振动方程的初边值问题
五. (15分) 对受摩擦力作用且具有固定端点的有界弦振动，满足方程
其中常数
, 证明其能量是减少的，并由此证明方程
的初边值问题解的唯一性.
六. (10分) 设 为平面上的有界区域, 其边界 充分光滑, 考虑方程
其中
,
为Laplace算子. (1) 证明: 如果
是方程
的解, 那么, 不能在 内部取正的最大值, 也不能在 内部取负的最
小值; (2) 证明: 上述方程 的第一边值问题最多只有一个解.
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2007年12月
一. 1. (7分) 将方程2. (8分) 求解定解问题
化成标准型.
二. (15分) 求下述问题的形式解
三. (20分) 设 是定解问题
的古典解, 其中 为有界区域, 为其边界, 数, 且
,
为外法线方向, , 为已知函
.
, 为正常数. 求证在 上必有
四. 1. (5分) 写出下述热传导方程初边值问题
的解的表达式, 其中2. (10分) 证明当
为光滑函数,
.
时, 上述问题的解 关于 一致地收敛于零.
五. (20分) 证明双曲型方程混合问题
解的唯一性, 其中, , 为
上的连续函数.
六. (15分) 设且在
是以原点为中心, 以 为半径的圆域, 在 中调和,
中一 阶连续可微. 试证:
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2007年12月
数学物理方程模拟题(考前打印)
