解析：作出如图所示的可行域．
2
x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(－3，－4)处取最大值(－3)
＋(－4)＝25.
答案：25
9．(2012·上海高考)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是________．
2
解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x＝2，y＝0时，目标函数z＝y－x取得最小值－2.
答案：－2
x－y＋5≥0，??
10．画出不等式组?x＋y≥0，
??x≤3
(1)指出x，y的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
表示的平面区域，并回答下列问题：
解：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，
x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．
x－y＋5≥0，??
所以，不等式组?x＋y≥0，
??x≤3
示．
表示的平面区域如图所
?5?结合图中可行域得x∈?－，3?，y∈[－3,8]．
?2?
??－x≤y≤x＋5，
(2)由图形及不等式组知?
??－2≤x≤3，且x∈Z.
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点； 当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点； 当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
11
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y， 所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y) ＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
??
5x＋7y＋4100－x－y≤600，?100－x－y≥0，??x≥0，y≥0，x∈Z，y∈Z，
?x＋3y≤200，整理得?
?x＋y≤100，
??x≥0，y≥0，x∈Z，y∈Z，
目标函数为W＝2x＋3y＋300，如图所示，作出可行域．
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值． 由?
??x＋3y＝200，??x＝50，??x＋y＝100，
得?
??y＝50，
最优解为A(50,50)，
所以Wmax＝550(元)．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
?x－4y＋3≤0，12．变量x、y满足?
?3x＋5y－25≤0，
??x≥1.
(1)设z＝yx，求z的最小值； (2)设z＝x2
＋y2
，求z的取值范围．
12
x－4y＋3≤0，??
解：由约束条件?3x＋5y－25≤0，
??x≥1
??x＝1，
由?
?3x＋5y－25＝0，?
作出(x，y)的可行域如图所示．
?22?解得A?1，?.
5??
??x＝1，
由?
?x－4y＋3＝0，?
??x－4y＋3＝0，由?
?3x＋5y－25＝0，?
解得C(1,1)．
解得B(5,2)．
(1)z＝＝yy－0
表示的几何意义是可行域中的点与原点O连线的斜率.
xx－0
2
观察图形可知zmin＝kOB＝. 5
(2)z＝x＋y的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
2
2
dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.
故z的取值范围为[2,29]．
x＋2y≥0，??
1．(2012·龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中，不等式组?2x－y≥0，a＞0??x≤a
表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域，则m的最大值是________．
解析：平面区域如图所示，A(a,2a)，B?a，－?.
2??15a52
∴S△OAB＝××a＝a＝5，
224∴a＝2，即A(2,4)，B(2，－1)．
又mx－y＋m＝0过定点(－1,0)，即y＝mx＋m，斜率m的最
?
a? 13
44
大值为过A点时的值为＝.
2－－13
4
答案： 3
2．(2012·济南质检)已知实数x，y满足|2x＋y＋1|≤|x＋2y＋2|，且－1≤y≤1，则
z＝2x＋y的最大值为( )
A．6 B．5 C．4
D．－3
解析：选B |2x＋y＋1|≤|x＋2y＋2|等价于(2x＋y＋1)≤(x＋2y＋2)，即x≤(y＋1)，即|x|≤|y＋1|.又－1≤y≤1，作出可行域如图阴影部分所示．
则当目标函数过C(2,1)时取得最大值， 所以zmax＝2×2＋1＝5.
2
2
2
2
x＋y≥1，??
3．若x，y满足约束条件?x－y≥－1，
??2x－y≤2，
11
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．
22
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 11
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)
22取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4 2 故所求a的取值范围为(－4,2)． a 14 x＋y≤1，?? 1．(2012·广东高考)已知变量x，y满足约束条件?x－y≤1， ??x＋1≥0， 值为( ) A．3 B．1 C．－5 D．－6 则z＝x＋2y的最小 x＋y≤1，?? 解析：选C 变量x，y满足的不等式组?x－y≤1， ??x＋1≥0 表 示的平面区域如图所示，作辅助线l0：x＋2y＝0，并平移到过点 A(－1，－2)时，z＝x＋2y达到最小，最小值为－5. 2．(2011·四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( ) A．4 650元 C．4 900元 B．4 700元 D．5 000元 解析：选C 设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得 ??x＋y≤12， 10x＋6y≥72，?0≤ x≤8，??0≤y≤7. 2x＋y≤19， 设每天的利润为z元， 则z＝450x＋350y. 画出可行域如图阴影部分所示． 15 由图可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，经过点A时取得最大值． ??x＋y＝12，又由? ??2x＋y＝19 得? ??x＝7，??y＝5， 即A(7,5)． 所以当x＝7，y＝5时，z取到最大值，zmax＝450×7＋350×5＝4 900元． 16
[三维设计]2014届高考数学一轮复习（基础知识+高频考点+解题训练）二元一次不等式（组）教学案
