2019年高考数学总复习：反证法
1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”“索”的“因”应是( ) A．a－b>0 C．(a－b)(a－c)>0 答案 C 解析
b2－ac<3a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2
B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0
?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0 ?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0. 2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明( ) A．2ab－1－a2b2≤0 （a＋b）2C.－1－a2b2≤0
2答案 D
3．下列不等式不成立的是( ) 1
A. C．233<322 答案 B 4．若实数a，b满足a＋b<0，则( ) A．a，b都小于0 C．a，b中至少有一个大于0 答案 D 解析 假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0. 5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q C．P 解析 要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较2a＋7＋2a（a＋7）与2a＋7＋2（a＋3）（a＋4）的大小， 只要比较a（a＋7）与（a＋3）（a＋4）的大小， 2019年高考数学总复习：反证法 第 1 页 共 5 页 B．a2＋b2－1－ a4＋b4 ≤0 2 D．(a2－1)(b2－1)≥0 B.3＋1>22 D．sin1>cos1 B．a，b都大于0 D．a，b中至少有一个小于0 B．P＝Q D．由a的取值确定 即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小， 只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P 6．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( ) A．假设至少有一个钝角 C．假设没有一个钝角 答案 B 解析 注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B. 7．若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是( ) 1 A．a2＋b2≥ 211 C.＋≥4 ab答案 D a＋b21 解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·()＝，∴A成立； 22a＋b21 ab≤()＝，∴B成立； 24 11a＋b11＋＝＝≥＝4，∴C成立； abababa＋b2 （）2 (a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab>1，∴a＋b>1，故D不成立． 111＋ 8．(2018·广东模拟)设x，y，z∈R，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( ) yzxA．至少有一个不大于2 C．至少有一个不小于2 答案 C 解析 假设a，b，c三个数都小于2. 111 则6>a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2 yzx即6>6，矛盾． 所以a，b，c三个数中至少有一个不小于2. 1 9．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 2答案 略 1 证明 要证lg(1＋ab)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]， 2只需证1＋ab≤（1＋a）（1＋b）， 即证：(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)， 2019年高考数学总复习：反证法 第 2 页 共 5 页 B．假设至少有两个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 1 B．ab≤ 4D.a＋b≤1 B．都小于2 D．都大于2 1x·＋2x1y·＋2y1z·＝6， z 即证：2ab≤a＋b，而2ab≤a＋b成立， 1 ∴lg(1＋ab)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 2 x22x32x12 10．(2017·江苏盐城一模)已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋x1x2x3≥1. 答案 略 x22x32x12x22x32 222解析 ∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2x2＋2x3＋2x1＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴＋＋ x1x2x3x1x2x12 ≥1. x3 11．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3. (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值． 答案 (1)略 (2)成立，证明略 解析 (1)证明：x是正实数，由均值不等式，得 x＋1≥2x，x2＋1≥2x，x3＋1≥2x3. 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2x·2x·2x3＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)． (2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立． 由(1)知，当x>0时，不等式成立； 当x≤0时，8x3≤0， 13 而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0， 24此时不等式仍然成立． 12．(2017·湖北武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝64. (1)求数列{an}的通项公式； 112 (2)求证：＋>(n≥2，n∈N*)． Sn－1Sn＋1Sn答案 (1)an＝2n－1 (2)略 解析 (1)设等差数列{an}的公差为d， ??a3＝a1＋2d＝5，则?解得a1＝1，d＝2. ?S8＝8a1＋28d＝64，? 故所求的通项公式为an＝2n－1. (2)证明：由(1)可知Sn＝n2，要证原不等式成立，只需证只需证[(n＋1)2＋(n－1)2]n2>2(n2－1)2. 只需证(n2＋1)n2>(n2－1)2. 2019年高考数学总复习：反证法 第 3 页 共 5 页 112 2＋2>n2， （n－1）（n＋1） 只需证3n2>1. 而3n2>1在n≥1时恒成立， 112 从而不等式＋>(n≥2，n∈N*)恒成立． Sn－1Sn＋1Sn 11 13．(2015·湖南，理)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明： ab(1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立． 答案 (1)略 (2)略 11a＋b 解析 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. abab(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2. (2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0 lnx (2)证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>. x－1答案 (1)a＝1，b＝1 (2)略 x＋1a（－lnx） xb 解析 (1)f′(x)＝－. x2（x＋1）2 1 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)， 2f（1）＝1，b＝1，????故?1即?a1 f′（1）＝－，－b＝－.??22??2解得a＝1，b＝1. lnx1(2)由(1)知f(x)＝＋，所以 x＋1xx2－1lnx1 f(x)－＝(2lnx－)． xx－11－x2x2－1 考虑函数h(x)＝2lnx－(x>0)，则 x（x－1）222x2－（x2－1） h′(x)＝－＝－. xx2x2所以当x≠1时，h′(x)<0.而h(1)＝0，故 alnxb ＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. x＋1x 2019年高考数学总复习：反证法 第 4 页 共 5 页 1 当x∈(0，1)时，h(x)>0，可得h(x)>0； 1－x2当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得从而当x>0，且x≠1时，f(x)－lnx 即f(x)>. x－1 1．(2017·安徽毛坦厂中学月考)若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 证明过程如下： 因为a，b，c∈R， 所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 又因为a，b，c不全相等， 所以以上三式至少有一个等号不成立， 所以将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 此证法是( ) A．分析法 C．分析法与综合法并用 答案 B 解析 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．故选B. 2．已知M＝(－1，1)，求证：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|. 答案 略 证明 ∵a，b∈M，即－1 ∵－1 B．综合法 D．反证法 1 h(x)>0. 1－x2 lnx >0， x－1 2019年高考数学总复习：反证法 第 5 页 共 5 页
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