1.1质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
lxm1m图E1.1
解：
系统的动能为：
T=
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
112
??l)2+Ix??m(x22
lm1?m1?2
I=∫?dx?x=∫1x2dx=m1l2
00l3?l?
l
则有：
T=
系统的势能为：
1221221??+m1lx??=(3m+m1)l2x??2mlx266
U=mgl(1?cosx)+m1g?
l
(1?cosx)2
111
=mglx2+m1glx2=(2m+m1)glx2
244
??=ωnx和T=U可得：利用x
ωn=
3(2m+m1)g
2(3m+m1)l
1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
kAaRCkθ图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T=
1??21?1???23??2IBθ=?mR2+mR2?θ=mR2θ22?24?
122U=2?k[(R+a)θ]=k(R+a)θ2
2
??=ωθ和T=U可得：利用θn
ωn=
4k(R+a)R+a4k
=
3mR2R3m
2
1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。
Jk1k2k3图E1.3
解：
系统的动能为：
T=
k2和k3相当于串联，则有：
1??2
Jθ2
θ=θ2+θ3 , k2θ2=k3θ3
以上两式联立可得：
θ2=
系统的势能为：
k3k2
θ , θ3=θk2+k3k2+k3
12111?k1(k2+k3)+k2k3?222
U=k1θ+k2θ2+k3θ3=??θ2222?k2+k3?
??=ωθ和T=U可得：利用θn
ωn=
k2k3+k1(k2+k3)J(k2+k3)
振动力学(部分)课后答案 (刘延柱 著) 高等教育出版社汇编
