高中数学课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例（含解析）
新人教A版选修22
课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例
一、题组对点训练
对点练一 面积、体积的最值问题
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( ) 1?l?3?l?3?l?3?l?3
A．??π B．??π C．??π D．??π
4?4??6??3??4?解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l， ∴h＝
l－4r2
l?1223?，V＝πrh＝πrl－2πr?0 4?2? 2 则V′＝lπr－6πr， 令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0， 6∴r＝是其唯一的极值点． 6 当r＝时，V取得最大值，最大值为??π. 6?6? 2．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． lll?l?3 (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)． 60－2x由已知得a＝2x，h＝＝2(30－x)，0＜x＜30. 2(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． 23 2 (2)V＝ah＝22(－x＋30x)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0； 当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 232 h11此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为. a22 对点练二 成本最低(费用最省)问题 3．做一个容积为256 m的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m 2562 解析：选C 设底面边长为x m，高为h m，则有xh＝256，所以h＝2.所用材料的面 3 x2562256×42256×422 积设为S m，则有S＝4x·h＋x＝4x·2＋x＝＋x.S′＝2x－，令S′＝0，2 xxx256 得x＝8，因此h＝＝4(m)． 64 4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总12 存储费为x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________. 2 2 000 解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝ x128 00012 4n＋x＝＋x， 2x2 8 000 令f′(x)＝x－2＝0，解得x＝20. x且当0 5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x， y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m，求x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m) 1x解：依题意有xy＋x·＝8， 228x∴y＝－(0 x4 框架用料总长度L(x)＝2x＋2y＋2· 2x?3?16＝?＋2?x＋， 2x?2? 2 316316 则L′(x)＝＋2－2.令L′(x)＝0，即＋2－2＝0，解得x1＝8－42，x2＝42－ 2x2x8(舍去)． 当0 ∴当x＝8－42时，L(x)取得最小值，此时x＝8－42≈2.343(m)，y＝22≈2.828(m)． 故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省． 对点练三 利润最大问题 6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13 ＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) 3 A．13万件 C．9万件 2 B．11万件 D．7万件 解析：选C 因为y′＝－x＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，13 所以函数y＝－x＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函 3数取最大值． 7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( ) A．30 元 C．28 000 元 解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知 B．60 元 D．23 000 元 2 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p)(p－20) ＝－p－150p＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)． 此时，L(30)＝23 000. 因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0， 所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元． 8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为 2 3 2 2 x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________． 解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx，银行应支付的利息是kx，贷款的收益是0.048kx，x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx－kx(0 答案：0.032 9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)万件． (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值． 解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为： 2 2 2 2 3 23 L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2， 即L(x)＝(x－7)(12－x)， 其中x∈[8,11]． (2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)， ∴L′(x)＝(12－x)＋(x－7)·2(12－x)·(－1) ＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)， 26 令L′(x)＝0得x＝12或x＝， 3由于x∈[8,11]，所以取x＝ 26， 3 2 2 2 ?26??26?当x∈?8，?时，L′(x)>0；x∈?，11?时，L′(x)<0， 3???3? 26 所以当x＝时，L(x)在[8,11]上取到极大值，也是最大值， 3 L??＝3 ?26?500(万元)． ??27 26500 故当每件售价为元时，公司一年的利润L最大，最大利润是万元． 327二、综合过关训练 1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A．2和6 C．3和5 B．4和4 D．以上都不对 3 3 3 解析：选B 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x＋(8－x)＝8－192x＋24x(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4 2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) 2 3 A．V 3 C．4V 解析：选C 设底面边长为x，高为h， ∴ 324V43Vx·h＝V，∴h＝＝2. 243x3x32343Vx＋3x·h＝x2＋， 42x43V3 B．2V 3D．2V ∴S表＝2· S′(x)＝3x－ x243V33 ，令S′(x)＝0可得3x＝2，x＝4V，x＝4V. x33 当0 ∴当x＝4V时，S(x)最小． 3．某厂要围建一个面积为512 m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A．32 m,16 m C．40 m,20 m B．30 m,15 m D．36 m,18 m 2 解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy＝512，512512 堆料场的周长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－2＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)， yy当0 值，此时x＝＝32. 16 4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利 900润最大时，每年生产的产品单位数是( ) A．150 C．250 B．200 D．300 x3 解析：选D 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝ 900－ ＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300 x3 x2 当x＝300时，P(x)最大． 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.
高中数学课时跟踪检测(八)生活中的优化问题举例(含解析)新人教A版选修22
