第1讲 数列、等差数列与等比数列(小题)
热点一 等差数列、等比数列的基本运算 1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
n?a1＋an?n?n－1?等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d；
22
a1?1－qn?a1－anq
＝，q≠1，1－q1－q等比数列的求和公式：Sn＝
?????na，q＝1.
1
2.等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
例1 (1)(2019·柳州模拟)已知点(n，an)在函数f(x)＝2x和为Sn，设bn＝log答案 －30
解析 ∵点(n，an)在函数y＝2x－1的图象上， ∴an＝2n－1，
∴{an}是首项为a1＝1，公比q＝2的等比数列， 1·?1－2n?
∴Sn＝＝2n－1，
1－2则bn＝log－1
的图象上(n∈N*).数列{an}的前n项
2Sn?1，数列{bn}的前n项和为Tn.则Tn的最小值为________. 6422n＝2n－12， 64∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴由bn≤0，得n≤6.
6×5×2
即Tn的最小值为T5＝T6＝－10×6＋＝－30.
2
(2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得am·an＝2a1，且a6＝a5＋2a4，19
则＋的最小值是________. mn答案 4
解析 数列an是正项等比数列且q≠1，
由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2， 解得q＝2(负根舍去). 由am·an＝2a1， 得2m＋n－2＝22，m＋n＝4. 191?19?
＋·故＋＝·(m＋n)
mn4?mn?
n9m11
1＋9＋＋?≥?10＋2＝?mn?4?4?
1
＝(10＋6)＝4， 4
n9m?· mn?
??
当且仅当?m＋n＝4，
??m∈N，n∈N，
*
*
n9m
＝，mn
??m＝1，即?时等号成立. ?n＝3?
跟踪演练1 (1)(2019·上饶重点中学六校联考)已知等差数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，若S8＝S10，则a18等于( ) A.－4 B.－2 C.0 D.2 答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d， 由S8＝S10，得a9＋a10＝0， 所以2a1＋17d＝0，且a1＝2， 4所以d＝－，
17
4
－?＝－2. 得a18＝a1＋17d＝2＋17×??17?13
(2)(2019·马鞍山模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3－a1＝，则S5等
84于( )
31313131
A. B. C. D. 321684答案 B
解析 由正项等比数列{an}的前n项和为Sn， 13
a4＝，S3－a1＝，q>0，
84易知q＝1时不成立，所以q≠1. aq＝，?8?
∴?a?1－q?
3－a＝，?41－q?
131
3
1
1
2711
a1＝－，q＝－舍去?， 解得a1＝1，q＝?83?2?11－a13231
∴S5＝＝＝.
1161－q1－2
?1－q5?
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的n的最大值为________. 答案 9
解析 因为a1＝9，a5＝1， 1－9所以公差d＝＝－2，
4
1
所以Sn＝9n＋n(n－1)(－2)＝10n－n2，
2令Sn>0，得0 所以使得Sn>0成立的n的最大值为9. 热点二 等差数列、等比数列的性质 1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a2k. 2.前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外). (2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1. 例2 (1)(2019·合肥模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a5＋a7－a26＝0，则S11的值为( ) A.11 B.12 C.20 D.22 答案 D 解析 结合等差数列的性质，可得a5＋a7＝2a6＝a26， 又该数列为正项数列，可得a6＝2， 所以由S2n－1＝(2n－1)an， 可得S11＝11a6＝22. 2(2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数 1＋x2列{an}满足a1a2 019＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 019)等于( ) 2 0191 A.2 019 B. C.2 D. 22答案 A 解析 ∵a1a2 019＝1， ∴f(a1)＋f(a2 019)＝ 2 2 2 ＋ 2 1＋a21＋a12 0192 2a21 2 ＝ 1＋a21 ＋＝＋＝2， 11＋a22 1＋a111＋2 a1 ∵{an}为等比数列， 则a1a2 019＝a2a2 018＝…＝a1 009a1 011＝a21 010＝1， ∴f(a2)＋f(a2 018)＝2，…，f(a1 009)＋f(a1 011)＝2，f(a1 010)＝1， 即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 019)＝2×1 009＋1＝2 019. (3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________. 答案 21 解析 令m＝1，∵am·an＝am＋n， ∴a1·an＝a1＋n， 又an>0，∴数列{an}为等比数列. 2＋a＝72， 由a3·a5＋a4＝72，得a44 ∵a4>0，∴a4＝8，
板块2 核心考点突破拿高分 专题2 第1讲 数列、等差数列与等比数列（小题）（教师版）备战2020年高考理科数学
