1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( ) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 答案 B
1
解析 可知AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x，y)．由题意可知×5×
2|4x－3y＋4|
＝10，所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.故选B. 52．动圆M经过双曲线x2－
y2
＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( ) 3
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
A．y2＝8x C．y2＝4x 答案 B 解析 双曲线
x2－
y2
＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心3
M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.
3．(2019·皖南八校联考)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ) A．y2＝2x C．y2＝－2x 答案 D
解析 (直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，PM. 则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2， 即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
4．方程x－1lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是( )
B．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2
答案 D
5．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( ) A．y2－
x2
＝1(y≤－1) 48
B．y2－
x2
＝1 48
x2
C．y－＝－1
48
2y2
D．x－＝1
48
2
答案 A
解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴轨迹方程为
y2－
x2
＝1(y≤－1)． 48
6．△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( ) x2y2
A.－＝1 916x2y2
C.－＝1(x>3) 916答案 C
解析 设△ABC的内切圆与x轴相切于D点，则D(3，0)．由于AC，BC都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.
x2y2
由双曲线定义知所求轨迹方程为－＝1(x>3)．故选C.
916
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r>0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点→→→
P，若OP＝aOA＋bOB(a，b∈R)，若M(a，b)，则动点M所形成的轨迹曲线的长度为( )
x2y2
B.－＝1 169
x2y2
D.－＝1(x>4) 169
A．π C.3π 答案 B
解析 设P(x，y)，则
→→→
x2＋y2＝r2，A(r，r)，B(－r，r)．由OP＝aOA＋bOB，得?
??x＝（a－b）r，??y＝（a＋b）r，
B.2π D．2π
1
代入x2＋y2＝r2，得(a－b)2＋(a＋b)2＝1，即a2＋b2＝，故动点M所形成的轨迹曲线的长度
2为2π.
8．(2019·福建三明一中期中)已知两点M(－3，0)，N(3，0)，给出下列曲线：①x－y＋5＝0；②2x＋y－24＝0；③y＝x2；④(x－6)2＋(y－4)2＝1；⑤满足|MP|＋|NP|＝10的曲线方程有( )
y2x2
－＝1，在所给的曲线上存在点P916
A．②③④ C．①③⑤ 答案 C
解析 ∵|PM|＋|PN|＝10>|MN|＝6，
B．①③④ D．①④⑤
∴P点轨迹是以M，N为焦点的椭圆，长轴长2a＝10，a＝5，2c＝6，c＝3. ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. x2y2
∴P点轨迹方程为＋＝1.
2516
问题转化为哪条曲线与椭圆有公共点，数形结合知①③⑤三条曲线与椭圆有公共点，选C. 9．(2019·人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，y)，M(x，－4)，以线段PM为直径的圆经过原点O.则动点P的轨迹方程为________． 答案 x2＝4y
→→
解析 由题意可得OP⊥OM，所以OP·OM＝0，所以(x，y)·(x，－4)＝0，即x2－4y＝0，所以动点P的轨迹方程为x2＝4y. 10．已知抛物线
y2＝nx(n<0)与双曲线
x2y2
－＝1有一个相同的焦点，则动点(m，n)的轨迹方8m
程是________． 答案 n2＝16(m＋8)(n<0)
nn
解析 抛物线的焦点为(，0)，在双曲线中，8＋m＝c2＝()2，n<0，即n2＝16(m＋8)(n<0)．
4411．若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________． 答案 y2＝4(x－2)
→→
解析 设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由OM＝NP，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)． 得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.
??y＝k（x－1），2k2＋4?由2联立得x＝x1＋x2＝2.
k?y＝4x，?
y＝y1＋y2＝
4k
，消去参数k，得y2＝4(x－2)． 2k
12.如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
专题研究一求曲线的轨迹方程习题和答案详解
