2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合A??xlog2(x?1)?1?，B??x取值范围为 。

【答案】 (?1，5 )【解答】由log2(x?1)?1，得0?x?1?2，1?x?3，A?(1，3)。 由x?a?2，得?2?x?a?2，a?2?x?a?2，B?(a?2，a?2)。 若A?B??，则a?2?1或a?2?3，a??1或a?5。 ∴ A?B??时，a的取值范围为(?1，5)。

2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y?f(x?1)为偶函数，当?1?x?0时，

9f(x)?x3，则f()? 。

2x?a?2?，若A?B??，则实数a的

【答案】

1 8【解答】由函数y?f(x?1)为偶函数，知f(?x?1)?f(x?1)。 又f(x)为奇函数，

∴ f(x?2)?f(?x)??f(x)，f(x?4)??f(x?2)?f(x)。

91111∴ f()?f()??f(?)??(?)3?。

222283．已知

f(1a?)f(2?a)?an?为等比数列，且a1a2017?1，若

3f(x)?21?x2，则

fL(?a)?2 f ( a ? ) 。

【答案】 2017

12222x22???2?2。 【解答】由f(x)?知，f(x)?f()?2221x1?x1?()21?xx?11?xx∵ ?an?为等比数列，且a1a2017?1，

aa3?L201?a∴ a1a201?7aa22?0165f(a)?∴ f(a1)?2017f(a2?)f(a?)20161a?。2 f(a?3)f(aL)5?2?01f(a?(?a )20)17f。

2∴ 2?f(a?f(a)1)2?f(L)3a??f2(a0?1 7)??f(a1)?f(a2017)???f(a2)?f(a2016)???f(a3)?f(a2015)??L??f(a2017)?f(a1)?

1

?2?2017。

f(a?∴ f(a1)?2)f(3a?L)?f()2a017?20 17。

4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为 。

【答案】

2 7【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同

3?35种。分配方案有C7（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3

块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）

其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有C52?10种。（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。）

所以，所求的概率为

102?。 3575．三棱锥P?ABC中，△ABC是边长为23的等边三角形，PB?PC?5，且二面角P?BC?A的大小为45?，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为 。

【答案】 25?

【解答】如图，取BC中点D，连AD，PD。

由△ABC是边长为23的等边三角形，PB?PC?5知，

AD?BC，PD?BC，PD?2。

∴ ?PD为A二面角P?BC?A的平面角，

P?PDA?45?，BC?面PAD，面PAD?面ABC。

作PO1?AD于O1，则PO1?面ABC。

∴ PO1?O1D?1，O1A?2，O1为△ABC的外心，三棱锥P?ABC为正三棱锥。

设三棱锥P?ABC外接球的球心为O，半径为R。 则O在直线PO1上，且PO1?PO22?R，R?∴ (R?12)?2AO1BDC2?O1A2?OA2。

5，三棱锥P?ABC的外接2O球的表面积为4?R2?25?。

x2y2?1上一点，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，M、I分6．已知P为双曲线C：?412别为△PF1F2的重心、内心，若MI?x轴，则△PF1F2内切圆的半径为 。

【答案】

6

2

【解答】如图，不妨设点P在第一象限，D、E、F分别为⊙I与△PF1F2三边相切的切点。

则由切线长定理以及双曲线定义，得

2a?PF1?PF2?(PF?FF1)?(PE?EF2)?FF1?EF2?F1D?F2D

?(xD?c)?(c?xD)?2xD

∴ xD?a?2，xM?xI?xD?2。

y0)，由M为△PF1F2重心，知设P(x0，x0?3xM?6，y0?46。

∴ PF1?(6?4)2?(46?0)2?14，

PF2?(6?4)2?(46?0)2?10。

设△PF1F2内切圆半径为r，则

1S△PF1F2?(PF1?PF2?F1F2)?r?16r。

2另一方面，

11S△PF1F2??F1F2?y0??8?46?166。

22∴ 16r?166，r?6。

c，7．在△ABC中，内角A、B、且nsicosCC所对的边分别是a、b、

A2(cos?n)si?2CA，2cosA?3，a?4，则△ABC的面积为 。 5【答案】 6 【解答】由sinCcosC(?1∴ sinAAAAA?(2?cosC)sin，知2sinCcos2?2(2?cosC)sincos。 22222cAos?)?(2CcosA，)sinC?sinCcosA?2sinA?cosCsinA。

∴ sinC?siCn∴ sinC?siBn?又cosA?cAo?sCcosA?sinsinC?sin(C?A)?2sinA。 ，A2，即2sAinc?b?2a。

3，a?4。 53A42?b2?(8?b)2?2b(8?b)?，解得b?3或b?5。 ∴ 42?b2?c2?2bccos，即

5 3

?b?3?b?5∴ ?，或?。

c?5c?3??114∴ △ABC的面积S?bcsinA??3?5??6。

2258．若关于x的方程x2?ax?b?3?0（a，b?R）在区间?1，2?上有实根，则a2?(b?4)2的最小值为 。

【答案】 2

【解答】由x2?ax?b?3?0知，b??x2?ax?3。

22?a2?(?x2?ax?1)∴ a2?(b?4)2?a2?(x2?1)?2ax(2x?1) ?ax?(x2?1)(x2?1?2ax?a2)?(x2?1)(x?a)2?x2?1。

∵ x??1，2?，

2?x2?1?，当2x?1，a??1，b?3时，等号成立。 ∴ a2?(b?4)∴ a2?(b?4)2的最小值为2。

9．函数f(x)?2x?7?12?x?44?x的最大值为 。 【答案】 11

【解答】由柯西不等式知，

(2x?7?12?x?44?x)2?(3?2x?712?x44?x2?2??6?) 326?(3?2?6)(2x?712?x44?x??)?112。 32694366，即，x?8时等号成立。 ??2x?712?x44?x44?x6当且仅当

32??2x?712?x32∴ f(x)的最大值为11。

AB内（点C与A、B10.A、B、C为圆O上不同的三点，且?AOB?120?，点C在劣弧?uuuruuruuur不重合），若OC??OA??OB（?，??R），则???的取值范围为 。

【答案】 ?1，2?

【解答】如图，连结OC交AB于点D。

uuuruuuruuuruuruuur设OD?mOC，则由OC??OA??OB，得 uuuruuruuurOD?m?OA?m?OB。 ∵ A、D、B三点共线， ∴ m??m??1，????1。 mCAEODB不妨设圆的半径为1，作OE?AB于E，由?AOB?120?，知

4

OE?1。 21AB内（点C与A、B不重合），且点C在劣弧?，

2∵ OD?OE?∴

1?m?1。于是，1?????2。 2∴ ???的取值范围为?1，2?。

另解：如图，以O为原点，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立直角坐标系。

1)，B(3，1)。 不妨设圆O半径为2，则由?AOB?120?，知A(?3，设C(2cos?，2sin?)。

uuuruuruuur则由OC??OA??OB，得

(2cos?，2sin?)??(?3，1)??(3，1)。

∴ ????2sin?。

AB内（点C与A、B不重合）∵ 点C在劣弧?，

∴ 30。????150? ∴

1?sin??，1????2sin???1，2?。 2∴ ???的取值范围为?1，2?。

5