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“平面向量”误区警示
“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水．现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下．
⑴向量就是有向线段
解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． 有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．
uuuuruuuur⑵若向量AB与CD相等，则有向线段AB与CD重合
uuruur解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．因此，若AB＝CD，则有向线段AB与CD长度相等且方向 相同，但它们可以不重合． ruuuuruuuu⑶若向量AB∥CD，则线段AB∥CD
解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．故由AB与CD平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反， 它们可能平行也可能共线． uuuuruuuuruuruuur⑷若向量AB与CD共线，则线段AB与CD共线
解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量．
uuuruur故由AB与CD共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线．
ururrururr⑸若a∥b，b∥c，则a∥c
urururr解析：由于零向量与任一向量平行，故当b＝0时，向量a、c不一定平行．
rruruurr当且仅当a、b、c都为非零向量时，才有a∥c．
urururururur⑹若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
ur解析：由|a|＝|b|，只能确定向量a与b的长度相等，不能确定其方向有何关系．
rruururuurur当a与b不共线时，a＝b或a＝－b都不能成立．
ururur⑺单位向量都相等
解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定相同，故单位向量也不一定相等． urur⑻若|a|＝0，则a＝0
解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集．
rurururu故若|a|＝0，则a＝0，不能够说a＝0．
平面向量数量积四大考点解析
考点一. 考查概念型问题
例1.已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( ) ⑴a?b?a?b?a//b; ⑵a,b反向?a?b??a?b ⑶a?b?a?b?a?b; ⑷a=b?a?b?b?c A.1 B.2 C.3 D.4
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评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°， 因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线. 考点二、考查求模问题
例2.已知向量a???2,2?,b??5,k?，若a?b不超过5，则k的取值范围是__________。
评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。 例3.（1）已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a?3b＝（ ）
A.
7 B. 10 C.13 D. 4
（2）已知向量a??cos?,sin??，向量b?
评注：模的问题采用平方法能使过程简化。 考点三、考查求角问题
?3,?1?，则2a?b的最大值是___________。
例4.已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角.
练习一：数量积（内积）的意义及运算
rrrrrr?e为单位向量，a在e方向上的投影与e在a方向上的投影分别为1．已知向量|a|?4，当它们之间的夹角为时，（ ）
3Ａ．23 ， Ｂ．2 ， Ｃ．321231 ，23 Ｄ． ， 2 22Ａ rrrr练习目的：区别a在e方向上的投影与e在a方向上的投影，达到正确理解投影的概念．
Ｃ 图1 Ｂ ,.
uuuruuur2．在边长为2的等边?ABC中，AB?BC的值是（ ）．
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ． ４ Ｄ．－４
uuuruuur练习目的：结合图形１，根据投影的意义，理解AB?BC的几何意义．
uurrrrrrrurrro3．已知|a|?3,|b|?2,a与b的夹角为60，c=3a?5b,d?ma?3b.
rrrr (1) 求|a?b|的值； (2) 当m为何值时，c与d垂直？
练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的．
练习二：数量积的坐标运算、模及夹角
rr4．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，
uuurrrruuurr若AB?2i?j,AC?3i?kj，则k的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
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练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法．
rrrr5. 已知向量|a|?2，|b|?23，a?b?(23,2)
rrrrrr求（1）|a?b|；（2）a?b与a?b的夹角
练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系．
rrrrrrrrrro6．设向量a,b满足|a|?2,|b|?1，a,b的夹角为60，若向量2ta?7b与向量a?tb夹角为钝角，
求实数t的取值范围。
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练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况， 才能不遗漏地正确解题．
练习三．平面向量的综合应用
rruuurruuurr7．（1）已知?ABC中，AB?a,BC?b，Ｂ是?ABC中的最大角，若a?b?0，则?ABC的形状为__________.
练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状．
平面向量巩固检测
rr1 已知a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，其中0??????
rrrr(1)求证：a?b 与a?b互相垂直；
(2)若ka?b与a?kb的长度相等，求???的值(k为非零的常数)
????
2．已知a、b是两个不共线的向量，且a=（cos?，sin?）, b=（cos?，sin?） （Ⅰ）求证：a+b与a－b垂直； （Ⅱ）若?∈（?
??44,），?=
?，且|a+b| = 416，求sin?. 5
必修4平面向量数量积考点归纳
