第1章 习题答案
1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？
解： ① 连续信号：图（a）、（c）、（d）； ② 离散信号：图（b）； ③ 周期信号：图（d）； ④ 非周期信号：图（a）、（b）、（c）； ⑤有始信号：图（a）、（b）、（c）。
1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。
解： 设T为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性
不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则
y1(t)=T[f1(t)]=|f1(t)|，y2(t)=T[f2(t)]=|f2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=|f1(t)+f2(t)|，而
|f1(t)|＋|f2(t)|≠|f1(t)+f2(t)|
即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下，不存在f1(t)＋f2(t)→y1(t)＋y2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性
由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性
由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=|f(t-t0)|，
即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t0)→y(t-t0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。
1－3 判定下列方程所表示系统的性质：
(a)(c)tdf(t)??f(x)dx0dty''(t)?2ty'(t)?2y(t)?3f(t)y(t)?(b)(d)y''(t)?2y'(t)?3y(t)?f'(t)?f(t?2)[y'(t)]2?y(t)?f(t)
解：（a）① 线性 1）可加性
df(t)t 由 y(t)???0dtdf1(t)t??y1(t)?dt??0f1(x)dxf(x)dx可得?df(t)t?y2(t)???f2(x)dx0dt?即f1(t)?y1(t)即f1(t)?y1(t) 则
y1(t)?y2(t)?tdf1(t)tdf(t)td??f1(x)dx?2??f2(x)dx?[f1(t)?f2(t)]??[f1(x)?f2(x)]dx 000dtdtdt 即在f1(t)?y1(t)、f2(t)?y2(t)前提下，有f1(t)＋f2(t)?y1(t)＋y2(t)，因此系统具备可加性。 2）齐次性
由f(t)?y(t)即y(t)?df(t)t??f(x)dx，设a为任一常数，可得 0dtttddf(t)df(t)t[af(t)]??[af(x)]dx?a?a?f(x)dx?a[??f(x)dx]?ay(t)
000dtdtdt请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
即af(t)?ay(t)，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。
② 时不变性
df(t)t f(t)?y(t) 具体表现为：y(t)???f(x)dx
0dt将方程中得f(t)换成f(t-t0）、y(t)换成y(t-t0)（t0为大于0的常数）， 即
df(t?t0)ty(t?t0)???f(x?t0)dx
0dt
df(t?t0)t?t0??f(?)d?设x?t0??，则dx?d?，因此y(t?t0)??t0dt也可写成y(t?t0)?df(t?t0)t?t0??f(x)dx， ?t0dt只有f(t)在t=0时接入系统，才存在f(t?t0)?y(t?t0)，当f(t)在t≠0时接入系统， 不存在f(t?t0)?y(t?t0)，因此，此系统为一时变系统。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。
（b）① 线性 1）可加性 在由
''y''(t)?2y'(t)?3y(t)?f'(t)?f(t?2)规定的f(t)?y(t)对应关系的前提下，可得
''
y1(t)?2y1(t)?3y1(t)?f1(t)?f1(t?2)??''''y2(t)?2y2(t)?3y2(t)?f2(t)?f2(t?2)??[y1(t)?y2(t)]''?2[y1(t)?y2(t)]'?3[y1(t)?y2(t)]
?[f1(t)?f2(t)]'?[f1(t?2)?f2(t?2)] 即由
f1(t)?y1(t)?可推出?????f1(t)＋f2(t)?y1(t)＋y2(t)，系统满足可加性。
f2(t)?y2(t)?f(t)?y(t)，即y''(t)?2y'(t)?3y(t)?f'(t)?f(t?2)，两边同时乘以常数a，有
2）齐次性 由
a[y''(t)?2y'(t)?3y(t)]?a[f'(t)?f(t?2)]?[ay(t)]''?2[ay(t)]'?3[ay(t)]?[af(t)]'?[af(t?2)] 即af(t)
?ay(t)，因此，系统具备齐次性。
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由1）、2）可判定此系统为一线性系统。 ② 时不变性
分别将y(t?t0)和f(t?t0)（t0为大于0的常数）代入方程
y''(t)?2y'(t)?3y(t)?f'(t)?f(t?2) 左右两边，则
d2y(t?t0)dy(t?t0)?2?3y(t?t0) 左边＝
dtdt2 右边＝df(t?t0)ddd?f(t?t0?2)?[y(t?t0)]?2y(t?t0)?3y(t?t0) dtd(t?t0)d(t?t0)d(t?t0)ddddd2y(t?t0)?y(t?t0)， 而 [y(t?t0)]?2y(t?t0)
d(t?t0)dtd(t?t0)d(t?t0)dtd2y(t?t0)dy(t?t0)?2?3y(t?t0)＝左边，故系统具备时不变特性。 所以，右边＝
dtdt2 依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。
（c）① 线性 1）可加性
在由式y(t)?2ty(t)?2y(t)?3f(t)规定的
'''y1(t)?2ty1(t)?2y1(t)?3f1(t)??'''y2(t)?2ty2(t)?2y2(t)?3f2(t)?'''f(t)?y(t)对应关系的前提下，可得
?两式相加????y1(t)?y2(t)＋2ty1(t)＋2ty2(t)?2y1(t)?2y2(t)?3f1(t)＋3f2(t)????[y1(t)?y2(t)]''＋2t[y1(t)＋y2(t)]'?2[y1(t)?y2(t)]?3[f1(t)＋f2(t)]即在
''''''
f1(t)?y1(t)、f2(t)?y2(t)的前提下，有式f1(t)?f2(t)?y1(t)?y2(t)存在，即系统满
足可加性。
2）齐次性 由
f(t)?y(t)，即y''(t)?2ty'(t)?2y(t)?3f(t)，两边同时乘以常数a，有
ay''(t)?2aty'(t)?2ay(t)?3af(t)?[ay(t)]''?2t[ay(t)]'?2[ay(t)]?3[af(t)]，
即有
af(t)?ay(t)，因此，系统具备齐次性。
依据上述1）、2），此系统为一线性系统。
② 时不变性
分别将y(t?t0)和f(t?t0) （t0为大于0的常数）代入方程y(t)?2ty(t)?2y(t)?3f(t) 左右两边，则
'''请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
信号与系统课后习题答案-第1章
