课时跟踪检测 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、题组对点训练
对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A．27 C．54
B．64 D.36
解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A．1∶2 C．1∶5
B．1∶3 D.3∶2
解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r.∴S侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶5.
3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
81πA. 4C．9π
B．16π 27πD. 4
解析：选A 如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－9?281π92?r)＋(2)＝r，解得r＝，所以该球的表面积为4πr＝4π×?4? ＝. 44
2
2
2
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 C．5
B．6 D.3
解析：选A 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S
底
＋S侧＝6π. 答案：6π
对点练二 柱体、锥体、台体的体积
6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 C．6
B．4 D.8
解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，
1
∴该几何体的体积为V＝×(2＋1)×2×2＝6.
2
7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
1
解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，则
2高h＝
l2－r2＝ 3.
113π
∴V圆锥＝πr2· h＝π×3＝. 333答案：
3π 3
8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．
解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其120
体积为2×2×2－×1×22＝.
33
答案：
20 3
对点练三 求几何体体积的方法
9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积是________．
解析：因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1?平面AA1C1C，BB1?平面AA1C1C，所以BB1∥
平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，1所以BH＝23，从而三棱锥A-A1EF的体积VA-A1EF＝VE-A1AF＝S△
311
A1AF·BH＝××6×4×23＝83.
32
答案：83 二、综合过关训练
1．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
1A. 32C. 3
1B. 23D. 4
1112
解析：选C ∵VC-A′B′C′＝V棱柱＝，∴VC-AA′B′B＝1－＝. 3333
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )
1＋2π
A.
2π1＋2πC.
π
1＋4πB.
4π1＋4πD.
2π
解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h， 则由题设知h＝2πr，
∴S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，又S侧＝h2＝4π2r2， ∴
S表1＋2π
＝.
2πS侧
3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．88＋(25－2)π C．88＋(45－4)π
B．96＋(25－4)π D.88＋(25－4)π
解析：选A 由三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故π×211
所求几何体的表面积S＝4×4×6－×4×4－＋×π×2×25＝88＋(25－2)π.故选A.
222
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A．1∶1 C．1∶3
B．1∶2 D.1∶2
2
解析：选C 如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形， 其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a，则面对角线长为2a，Sa)2×
3
＝23a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶3. 2
锥
1＝4×(2
2
5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.
答案：2
6．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为________． 解析：由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．
116π∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π×22×2＝，
33∴所求几何体的体积为16π－答案：
32
π 3
16π32π
＝. 33
7．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 1
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝πl，得l＝6r.
3又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝
15， 7
圆锥的高h＝?6?15??
－7??
21515?
＝35·，
77?15253
＝π. 77
21115
V＝πr2h＝π××35×337
8．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)， ∴圆锥的侧面积S1＝π×2×210＝410 π(cm2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：
r6－x设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知＝，
26∴r＝
6－x2π2π
，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]， 333
∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2.
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：柱体、锥体、台体的表面积与体积
