dy?2udu?2x? 故原方程化为 dxdx 2udu?x?u? 即du?1(x)?1? dxdx2u2这是齐次方程? 因此令u?z? 则u?xz? du?z?xdz? 则上述齐次方程化为 xdxdx z?xdz?1?1? 即xdz??1(2z?1?1)? dx2z2dx2z分离变量得
解 令u?x2?y? 则y?u2?x2? zdz??1dx? 2z2?z?12x积分得 1ln(2z3?3z2?1)??1lnx?C1? 62 即 2z3?3z2?1?Cx?3(C?e6C1)? 将z?u代入上式得 x 2u3?3xu2?x3?C?
再代入u?x2?y? 得原方程的通解2(x2?y)3?2x3?3xy?C? 4? 求下列微分方程满足所给初始条件的特解? (1) y3dx?2(x2?xy2)dy?0? x?1时y?1? 解 原方程变形为 dx?2x??23x2? dyyy即 x?2dx?2x?1??23? dyyyd(x?1)2?12?x?3? 或 dyyy其通解为 ??2dyx?1?ey(2e?ydy?C)?1(2lny?C)? ?y3y22即原方程的通解为 y2?x(2ln y?C)?
由y|x?1?1? 得C?1? 故满足所给初始条件的特解为y2?x(2ln y?1)?
(2) y???ay?2?0? x?0时y?0? y???1? 解 令y??p? 则原方程化为
dp ?ap2?0? dx分离变量得 dp?adx? p2两边积分得 ?1?ax?C1? 即y???1? ax?C1p代入初始条件y?(0)??1得C1?1? 故 y???1? ax?1方程两边积分得
y??1ln(ax?1)?C2? a代入初始条件y(0)?0得C2?0?
因此满足所给初始条件的特解为y??1ln(ax?1)? a
(3) 2y???sin2y?0? x?0时y??? y??1? 2 解 令y??p? 则原方程化为 dp 2p?sin2y?0? dy分离变量得 2pdp?sin2ydy ? 两边积分得
p2??1cos2y?C1? 2代入初始条件y?(0)?1得C1?1? 2因而 y?2??1cos2y?1?sin2y? 22即 y??sin y ? 分离变量得 dy ?dx? siny两边积分得 1?cosy 1ln?x?C2? 21?cosy代入初始条件y(0)??得C2?0? 21?cosy 因此满足所给初始条件的特解为x?1ln? 21?cosy (4) y???2y??y?cos x? x?0时y?0? y??3? 2 解 齐次方程y???2y??y?0的特征方程为 r2?2r?1?0? 其根为r1? 2??1?
齐次方程y???2y??y?0的通解为y?(C1?C2x)e?x?
因为f(x)?cos x? ???i?i不是特征方程的根? 所以非齐次方程的特解应设为 y*?Acos x?Bsin x? 代入原方程得
?2Asin x?2Bcos x?cos x?
比较系数得A?0? B?1? 故y*?1sinx? 从而原方程的通解为 22 y?(C1?C2x)e?x?1sinx ? 2将初始条件代入通解得 ??C1?0 ?1?3 ? ?C?C???1222解之得C1?0? C2?1?
因此满足所给初始条件的特解为y?xe?x?1sinx? 2 5? 已知某曲线经过点(1? 1)? 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标? 求它的方程?
解 设点(x? y)为曲线上任一点? 则曲线在该点的切线方程为 Y?y?y?(X?x)?
其在纵轴上的截距为y?xy?? 因此由已知有 y?xy??x? 即y??1y??1? x这是一个一阶线性方程? 其通解为
dx?dx y?e?x[?(?1)e?xdx?C]?x(?lnx?C)? 11即方程的通解为y?x(C?ln x)? 由于曲线过点(1? 1)? 所以C?1? 因此所求曲线的方程为y?x(1?ln x)?
6? 已知某车间的容积为30?30?6m3? 其中的空气含0?12%的CO2(以容积计算)? 现以含CO20?04%的新鲜空气输入? 问每分钟应输入多少? 才能在30min后使车间空气中CO2的含量不超过0?06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后? 以相同的流量排出)?
解 设每分钟应输入的空气为a m3? t时刻车间中CO2的浓度为x(t)? 则车间中CO2的含量(以体积计算)在t时刻经过dt min的改变量为 30?30?6 dx?0?0004adt?axdt? 分离变量得
1dx??adt? x?0.00045400由于x?0?0004? 故两边积分得 ln(x?0.0004)??at?lnC? 5400即 ?atx?0.0004?Ce5400? 由于开始时车间中的空气含0?12%的CO2? 即当t?0时? x?0?0012? 代入上式得C?0? 0008? ?at因此x?0.0004?0.0008e5400? 由上式得a??5400lnx?0.004? t0.0008 由于要求30min后车间中CO2的含量不超过0?06%? 即当t?30时? x?0?0006? 将t?30? x?0? 0006代入上式得a?180ln 4?250?
?t 因为x???0.0008e5400?0? 所以x是a的减函数? 考试当a?250时可保证5400ax?0?0006?
因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m3? 7? 设可导函数?(x)满足
?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1?
0x求?(x)?
解 在等式两边对x求导得
??(x)cos x??(x)sin x?2?(x)sin x?1? 即 ??(x)?tan x?(x)?sec x? 这是一个一阶线性方程? 其通解为
?tanxdxtanxdx(?secxe?dx?C) ?(x)?e? ?cos x(tan x?C)?sin x?Ccos x?
在已知等式中? 令x?0得?(0)?1? 代入通解得C?1? 故?(x)?sin x?cos x ? 8? 设函数u?f(r)? r?x2?y2?z2在r?0内满足拉普拉斯(Laplace)方程 2?2u??2u?0? ? ?u?x2?y2?z2其中f(r)二阶可导? 且f(1)?f ?(1)?1? 试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程? 并求f(r)?
2x?x? 解 因为?r??x2x2?y2?z2r所以 ?u?f?(r)?r?xf?(r)? ?x?xr
总习题十二高等数学同济大学第六版本
