总习题十二 1? 填空?
(1)xy????2x2y?2?x3y?x4?1是______阶微分方程? 解 是3阶微分方程?
(2)若M(x? y)dx?N(x? y)dy?0是全微分方程? 则函数M、N应满足______? 解 ?M??N? ?y?x (3)与积分方程y??f(x,y)dx等价的微分方程初值问题是______? x0x 解 方程两边对x求导得y??f(x? y)? 显然当x?x0时? y?0? 因此与积分方程等价的微分方程初值问题是 y??f(x? y)? y|x?x0?0?
(4)已知y?1、y?x、y?x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解? 则该方程的通解为______?
解 容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解? 因此y1?x?1和y2?x2?1都是对应齐次线性微分方程的的解? 显然y1与y2是线性无关? 所以非齐次线性微分方程的通解为 y?C1(x?1)?C2(x2?1)?1?
2? 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程? (1)(x?C)2?y2?1(其中C为任意常数)? 解 将等式变形 x?C??1?y2? 两边对x求导得 1??yy?? 21?y从而1?y2?y2y?2? 即所求微分方程为y2(1?y?2)?1? (2)y?C1ex?C2e2x(其中C1、C2为任意常数)? 解 两边对x求导得 y??C1ex?2C2e2x?y?C2e2x ?
即 y??y?C2e2x?? ? ?(1) 再求导得
y???y??2C2e2x? ? ? ?(2) (2)?(1)?2得
y???2y??y??2y?
即所求微分方程为y???3y??2y?0? 3? 求下列微分方程的通解? (1)xy??y?2xy? 解 将方程变形为 y??1y?1? 即(y)??1y?1? 2x2y2xxx其通解为 y??1dx?e2x(?1e?2xdxdx?C)?1(x?C)? xx1(x?C)2即原方程的通解为y?? x (2) xy?ln x?y?ax(ln x?1)? 解 将方程变形为 y??1y?a(1?1)? xlnxlnx其通解为 ??1dxy?exlnx[1)e?xlnxdxdx?C]?1(axlnx?C)? a(1??lnxlnx1即原方程的通解为y?ax?C? lnxdyy (3)?? dx2(lny?x) 解 将方程变形为 2lny dx?2x?? dyyy其通解为 ??2dyx?ey(2lny?ydy1(y2lny?1y2?C)? edy?C)??y2y22即原方程的通解为x?lny?1?C? 2y2dy?xy?x3y3?0? dx 解 将方程变形为 (4)d(y?2)dy1?23 3?xy?x? 即?2xy?2??2x3? dxydx其通解为 y?2?e?2xdx222?2xdx[?(?2x3)e?dx?C)?ex(x2e?x?e?x?C)?
2即原方程的通解为y?2?Cex?x2?1? (5)xdx?ydy? 解 因为 ydx?xdy?0? x2?y2x2?y2 xdx?ydy?d()? 2ydx?xdy1?ydx?xdy ?x2?y21?(x)2y2y ?1d(x)?d(arctanx)? y1?(x)2yy所以原方程可写成
2y2x d(??arctanx)?0? 22y从而原方程的通解为 x2?y2?2arctanx?C? y
(6) yy???y?2?1?0? 解 令y??p? 则y???p ypdp? 原方程化为 dydp2?p?1?0? dyd(p2)222?p?? 或 dyyy其通解为
?ydy2??ydy p?e(?edy?C)?y2(?y?2?C)?Cy2?1? y222于是 y???Cy2?1? 即积分得
dy??dx(C?C12)? (C1y)2?1 ln(C1y?(C1y)2?1)??x?C2? 化简得原方程的通解y?1ch(?x?C2)? C1 (7) y???2y??5y?sin2x? 解 齐次方程y???2y??5y?0的特征方程为r2?2r?5?0? 其根为r1? 2??1?2i ?
因为f(x)?sin2x? ???i?2i不是特征方程的根? 所以非齐次方程的特解应设为 y*?Acos2x?Bsin2x? 代入原方程得
(A?2B)cos2x?(B?4A)sin2x?sin2x?
比较系数得A??4? B?1? y*??4cos2x?1sin2x? 17171717 因此原方程的通解为
y?e?x(C1cos2x?C2sin2x)?4cos2x?1sin2x? 1717 (8) y????y???2y??x(ex?4)?
解 齐次方程y????y???2y??0的特征方程为r 3?r2?2r?0? 其根为r1?0? r2?1? r3?2?
齐次方程y????y???2y??0的通解为y?C1?C2ex?C3e?2x ? 原方程中f(x)?f1(x)?f2(x)? 其中f1(x)?xex? f2(x)?4x?
对于方程y????y???2y??xex? 因为??1是特征方程的根? 故其特解可设为 y1*?x(Ax?B)ex? 代入y????y???2y??xex得
(6Ax?8A?3b)ex?xex?
比较系数得A?1? B??4? 故y1*?x(1x?4)ex? 6969 对于方程y????y???2y??4x? 因为??0是特征方程的根? 故其特解可设为 y2*?x(Cx?D)? 代入y????y???2y??4x得 ?4Cx?2C?2D?4x?
比较系数得C??1? D??1? 故y2*?x(?x?1)? 因此原方程的通解为
y?C1?C2ex?C3e?2x?(1x2?4x)ex?x2?x? 69
(9) (y4?3x2)dy?xydx?0? 解 将原方程变形为
d(x2)62dx323?x??2y3? x?x??y? 或dyydyy其通解为 ??dy?ydy3 x?e[?(?2y)eydy?C]?y6(y?2?C)? 266即原方程的通解为x2?y4?Cy6?
(10)y??x?x2?y?
总习题十二高等数学同济大学第六版本
