基本不等式
1
1．函数y＝x＋(x＞0)的值域为(
xA．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞)
2
)．
B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
a＋b12
≤2；③x＋2≥1，其中正确的个数是2．下列不等式：①a＋1＞2a；②
ab
x＋1(
A．0
B．1
C．2
D．3
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．
A.1
2
B．1
C．2
D．4
4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1
x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(
A．1＋2
B．1＋3
C．3 D．4
2
5．已知t＞0，则函数y＝
t－4t＋1
t
的最小值为________．利用基本不等式求最值
【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则11
x＋y的最小值为________；
(2)当x＞0时，则f(x)＝2x
x
2＋1的最大值为________．
【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1
x－1的最小值为________．
(2)已知0＜x＜2＝2x－5x2
5，则y的最大值为________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
利用基本不等式证明不等式
【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bccaab
a＋b＋c
≥a＋b＋c.
)．
)．
【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 111
求证：＋＋≥9.
abc
利用基本不等式解决恒成立问题
x
【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是
x＋3x＋1________．
【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
考向三利用基本不等式解实际问题
12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位
400元/m，房
2
【例3】?某单位建造一间地面面积为置的限制，房子侧面的长度
x不得超过5 m．房屋正面的造价为
屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为
5 800元，如果墙高
为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
11
的最小值是((2010·四川)设a＞b＞0，则a＋＋
abaa－b
2
)．
A．1 B．2 C．3 D．4
双基自测
1.答案
C
2
112
＝(x＋1)＋2－1≥2－1＝1.答案B 2．解析①②不正确，③正确，x＋2
x＋1x＋1
1
3．解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤.答案A
2
11＋2≥2 x－2×＋24．解析当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋
x－2x－2
1
＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x
x－2
＝3，即a＝3.答案C
2
t－4t＋11
＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等5．解析∵t＞0，∴y＝
tt
号．答案－2
【例1】解析(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，112x＋y2x＋yy2xy2x∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋22.当且仅当＝时，取等号．xyxyxyxy
2x221
＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答(2)∵x＞0，∴f(x)＝2
12xx＋1
x＋
x
案(1)3＋22(2)1
1
【训练1】．解析(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3当且仅当x
x－1122
＝2时取等号．(2)y＝2x－5x＝x(2－5x)＝·，∴5x＜2,25x·(2－5x)，∵0＜x＜
55
5x＋2－5x21
－5x＞0，∴5x(2－5x)≤＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，
52
1128
即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，
55yx
828y2x4yx4yx
∴x＋y＝(x＋y)＋＝10＋＋＝10＋2＋≥10＋2×2×＝18，·
xyxyxyxy4yx
当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，
xy
1
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案(1)3(2)(3)18
5
bccabccabcab
【例2】证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2 ·＝2c；＋≥2
ababac
bccaabbcabcaabcaab
·＝2b；＋≥2 ·＝2a.以上三式相加得：2a＋b＋c≥2(aacbcbc
bccaab
＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
abc
111a＋b＋c
【训练2】证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋
abca
a＋b＋ca＋b＋cbacacbbcacab
＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
abacbcbcaabbcc
1
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
3
xx
解析若对任意x＞0，2≤a恒成立，只需求得y＝2的最大值即
x＋3x＋1x＋3x＋1
x111
可，因为x＞0，所以y＝2＝≤＝，当且仅当x＝1时取
＋3x＋115x1
x＋＋32 x·
xx
11
，＋∞等号，所以a的取值范围是5，＋∞答案
5
【训练3】解析由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案10
1612
【例3．解由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5 800＝900x＋＋5
xx
1616
800(0＜x≤5)，则y＝900x＋x＋5 800≥900×2x×x＋5 800＝13 000(元)，
16
当且仅当x＝，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
x
【示例】．正解∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，1212b2ab2a∴＋＝a＋b(a＋b)＝1＋2＋＋≥3＋2 ·＝3＋22. ababab
a＋b＝1，
当且仅当b2a
＝，ab【试一试】尝试解答]
即
2
a＝2－1，b＝2－2
12
时，＋的最小值为3＋22.
ab
11
＋ab＋≥2
abaa－b
11
且ab＝，即a＝2b时，等号成立．答案b)＝
abaa－b
11112
a＋＋＝a－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋
abaa－babaa－b
11
aa－b·＋2 ab·＝2＋2＝4.当且仅当a(a－
abaa－b
D
(完整word版)基本不等式练习题(含答案)
