函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳

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A.x轴对称 B. 答案：B 注意：

y轴对称

C.原点对称 D.以上均不对

抽象函数奇偶性应立足定义，

即从考虑

f?x?与f??x?的关系入手

例2. (补充) 定义在R上的函数y＝f(x)， 对任意实数x1、x2都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)， 判断函数y＝f(x)的奇偶性，并证明．

解析：令x1＝x2＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0.

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令x1＝x，x2＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x) ∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(x)是奇函数． 注意：(补充)

抽象函数奇偶性、单调性判断（证明）均立足定义 1、抽象函数奇偶性判断（证明） 赋值法，从考虑

f?x?与f??x?的关系入手

2、抽象函数的单调性判断（证明） 赋值法，在指定区间任取x1?x2，

从考虑f(x1)、f(x2)的大小关系入手

3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质或寻找思路，但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的一般函数进行推理

抽象函数关系式 f(x?y)?f(x)?f(y) f(x?y)?f(x)?f(y) f(xy)?f(x)?f(y) 相应的模型函数 f(x)?kx f(x)?ax(a?0,a?1) f(x)?logax(a?0,a?1) xf()?f(x)?f(y) y文案大全

f(x)?logax(a?0,a?1) 实用标准文档 f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y) f(xy)?f(x)?f(y) f(x)?cosx f(x)?xn f(x)?tanx f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y)

练习：(补充)

1、已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋

f(y)．

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)如果x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－2， 试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．

解析：(1)证明：∵函数定义域为R， ∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得， ∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0， ∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.

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1

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∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．

(2)解：设x1

则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1) ＝f(x2)－f(x1)．

∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减． 从而f(x)在[－2,6]上为减函数． ∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值． ∵f(1)＝－2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1， ∴f(－2)＝－f(2)＝1，

1

f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.

∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

2、已知函数y＝f(x)对任意x、y∈R，均有

f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－ (1)判断并证明f(x)在R上的单调性； (2)求f(x)在[－3,3]上的最值．

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2. 3实用标准文档

解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数

证明如下：

令x＝y＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x可得：

f(－x)＝－f(x)，

在R上任取x1、x2且x10， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． 又∵x>0时，f(x)<0，

∴f(x2－x1)<0，即f(x2)

(2)∵f(x)在R上是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(－3)最大，f(3)最小．

f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1) ＝3×

2＝－2. 3∴f(－3)＝－f(3)＝2.

即f(x)在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.

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