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则f(x)图象的对称轴为x?（3）(补充)
a?b。 2 已知奇函数f?x?的图象关于直线x?a对称，
若偶函数f?x?的图象关于直线x?a对称，
则f?x?是周期函数，且4a为其中的一个周期
则f?x?是周期函数，且2a为其中的一个周期
二、例题分析：
（一）证明（判断）函数的奇偶性 例1. (补充)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(2－x)
2＋x2－x.
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x＋2 x<－1??
(2)f(x)＝?0 |x|≤1
??－x＋2 x>1
1
1
.
(3)f(x)＝ 解析：
ax－12
＋ (a>0且a≠1)
2＋x(1)由≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，
2－x 故f(x)为非奇非偶函数．
(2)x<－1时，－x>1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝
f(x)．
x>1时，－x<－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)． －1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，
f(－x)＝0＝f(x)．
∴对定义域的每个x都有f(－x)＝f(x)．
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因此f(x)是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
1
1
1
1
f(－x)＝
－x＋＝
＋＝＋ xax1
a－12
1
ax－121－a2＝－
1－ax－11－ax＋12＝－1＋111－ax＋2
＝－??1??ax－1＋1??
2??
＝－f(x)． 即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)(补充) 函数y?9?x2|x?4|?|x?3|的图象关于 （ A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线x?y?0对称 答案：B
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）
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注意：(补充)
1.如何判断函数奇偶性：
第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．
第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；
第三，利用定义进行等价变形判断．
第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的围取相应的函数表达式或利用图象判断．
2．分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观． (3)验证f(－x)＋f(x)＝0更方便些．
温故知新P13 知识辨析2（1）（2）
(1) f(x)?log2x?x2?1
既不是奇函数也不是偶函数（ ）
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(2) f(x)??x?1?
1?x 是偶函数（ ） 1?x答案：（1）奇函数（2）非奇非偶 注意： 1、关注定义域
2、利用函数奇偶性定义的等价形式：
f(x)?f(?x)?0（对数型函数用）， f(x) ??1（指数型函数用）
f(?x)
练习：(补充)判断下列函数的奇偶性．
(1) f(x)?lg?1?x2?x?2?2
2??x?x(2) f(x)??2??x?x?x?0? ?x?0?(3) f(x)?3?x2?x2?3 2(4) f(x)?x?x?a?2
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函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳
