第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第十节 热点专题—
—概率与统计中的热点问题课后作业 理
1．为了防止塑化剂超标的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮塑化剂含量检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一11
轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
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(1)求该产品不能销售的概率；
(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列及均值E(X)．
2．(2016·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]．
(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数；
(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及均值．
3．(2016·日照模拟)某娱乐节目将4名队员平均分成甲、乙两个组，进行一对一的独12
立闯关比赛，已知甲组中2名队员A，B过关的概率分别为，，乙组中2名队员C，D过关
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的概率都为，最后根据两组过关人数的多少来决定胜负，若过关人数相同，则认为两组平2局．
(1)求A，B，C，D 4名队员至多1人过关的概率；
(2)将甲组过关的人数记作x，乙组过关的人数记作y，设X＝|x－y|，求X的分布列和均值．
4．将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中(每个盒子足够大)．
1
(1)求编号为1的盒子为空盒的概率； (2)求空盒的个数ξ的分布列和均值E(ξ)．
5．(2016·九江模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)
男同学 女同学 总计 几何题 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50 (1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
(3)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及均值E(X)．
下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
6．某高中为了推进新课程改革，以满足不同层次的学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、语文、物理、化学、生物这5个学科的辅导讲座，每位有兴趣的学生可以在期间的任何一天参加任何学科的辅导讲座，也可以放弃任何一个学科的辅导讲座．规定：各学科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座．统计数据表明，各学科辅导讲座满座的概率如下表(每天各个学科的辅导讲座是否满座互不影响)：
数学 1 22 32 3语文 1 41 21 3物理 1 41 21 3化学 1 41 21 3生物 1 41 21 3周一 周三 周五 (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率； 2
(2)设周三各学科辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．
答 案
1. 解：(1)记“该产品不能销售”为事件A， 1?1?1??则P(A)＝1－?1－?×?1－?＝，
?6??10?41
故该产品不能销售的概率为.
4
(2)由已知，可知X的所有可能取值为－320，－200，－80，40,160.
?1?41
P(X＝－320)＝??＝，
?4?256?1?3331
P(X＝－200)＝C4×??×＝，
?4?464?1?2?3?2272
P(X＝－80)＝C4×??×??＝，
?4??4?128
1?3?3273
P(X＝40)＝C4××??＝，
4?4?64
?3?481
P(X＝160)＝??＝.
?4?256
所以X的分布列为
X P －320 1 256－200 3 64－80 27 12840 27 64160 81 25613272781E(X)＝－320×－200×－80×＋40×＋160×＝40.
2566412864256
1－0.70
2. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率，∴除[35,40)外的频率和为0.70，∴x＝
5＝0.06.
故500 名志愿者中，年龄在[35,40)岁的人数为 0.06×5×500＝150(人)．
(2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有12 名，“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名．
故 X 的可能取值为 0,1,2,3，
C814C12C828
P (X＝0)＝3＝，P (X＝1)＝3＝，
C20285C2095C12C844C1211
P (X＝2)＝3＝，P (X＝3)＝3＝，
C2095C2057故 X的分布列为
3
2
1
3
3
1
2
部编版2024届高考数学一轮复习第十一章第十节热点专题__概率与统计中的热点问题课后作业理5(2)
