3.2.3 互斥事件
1．了解互斥事件的概念及概率加法公式． 2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系． 3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点)
4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 互斥事件
阅读教材P138～P140“例5”以上部分，完成下列问题． 1．互斥事件的定义
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件． 2．事件A与B至少有一个发生
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，事件A1，事件
A2，…，事件An中至少有一个发生．
3．互斥事件的概率加法公式
一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知事件A与B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )
(2)若三个事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )
(3)袋子中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，“恰有一个白球”和“全是白球”是互斥事件．( )
【解析】 (1)×，A与B互斥时P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． (2)×，P(A)＋P(B)＋P(C)的值不确定． (3)√，恰有一个白球与全是白球是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 对立事件及其概率的求法公式
阅读教材P140“例5”至P143“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定义
在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件
A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.
2．性质
P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件．( ) (2)事件A与B若满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．( ) (3)若事件A与B互为对立事件，则A与B互斥．( ) 【解析】 (1)×，A与B不一定对立．
(2)×，例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率相同，事件A为选中a，b两个球，11
则P(A)＝；事件B为选中b，c两个球，则P(B)＝，则P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对
22立事件．
(3)√，对立事件一定是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√
[小组合作型]
互斥事件与对立事件的判断 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生； (2)至少1名男生与全是男生； (3)至少1名男生与全是女生．
【精彩点拨】 要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，
看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．
【自主解答】 从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；
(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．
2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．
[再练一题]
1．判断下列给出的条件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件的概率
袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，
155
得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
31212
【导学号：63580039】
(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率； (2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．
【精彩点拨】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．
【自主解答】 (1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球”，C为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥．
1
由已知P(A)＝，
3
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝， P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝，
12
∴P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝1－＝. 33∵B与C＋D，B＋C与D也互斥，
251
∴P(B)＝P(B＋C＋D)－P(C＋D)＝－＝，
3124
512
512
P(D)＝P(B＋C＋D)－P(B＋C)＝－＝，
2351124
?111?P(C)＝1－P(A＋B＋D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－?＋＋?
?344?
51
＝1－＝.
66
111
故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，. 464(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球， ∴得到的球是红球或黄球，即事件A＋C， 111
∴P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝＋＝，
362
1
故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为.
2
1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概
率加法公式求解．
2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．
[再练一题]
2．向三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率是0.025，炸中其他两个的概率都是0.1.已知只要炸中一个，另外两个都会爆炸．求这三个军火库都爆炸的概率和都没有爆炸的概率．
【解】 设以A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库的事件，则P(A)＝0.025，
P(B)＝P(C)＝0.1.由题意知A，B，C两两互斥，且“三个军火库都爆炸”意味着炸弹炸中其
中任何一个．
设D表示事件“三个军火库都爆炸”，则D＝A＋B＋C，其中A，B，C两两互斥．所以
P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
所以，三个军火库都没有爆炸的概率为1－P(D)＝0.775.
[探究共研型]
对立事件的概率与求法 探究1 若令A＝“小明考试及格”，A＝“小明考试不及格”，则事件A与事件A能不能同时发生，或者都不发生？为什么？
【提示】 不可能同时发生，由于事件A与A是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A与A也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A与A必有一个发生．
探究2 将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U＝“出现点数的全体”，A＝“出现的点数是偶数”，B＝“出现的点数是奇数”，则A，U是互斥事件吗？A，B是互斥事件吗？B，U是互斥事件吗？”
【提示】 A，U不是互斥事件，A，B是互斥事件，B，U不是互斥事件．
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从
中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
【精彩点拨】 先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．
2018版高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案北师大版
