2， 2
由双曲线的定义知：
AF2－AF1＝2，BF2－BF1＝2， ∴AF2＋BF2－AB＝22， ∴AF2＋BF2＝8＋22，
则△ABF2的周长为16＋22.
35. 3∴9a＝a＋4，∴a＝
2
2
3b3
解析 由题意知AF1＝F1F2，∴＝·2c，
3a323232222
即a－c＝ac，∴c＋ac－a＝0，
33
2332
∴e＋e－1＝0，解之得e＝(负值舍去)．
33
6．2
422
解析 由题意2>2，即m＋n<4，点(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，过2
m＋n
22xy
点P的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2.
94
2
7．4p
解析 由题意得∠xOA＝∠xOB＝45°，则可设点A(a，a)，代入抛物线的方程得a＝2p，
122
∴S△ABO＝×2a×a＝a＝4p.
28.2＋1
2
?p??p?解析 ∵F?，0?，∴A?，p?. ?2??2?p
又∵c＝，即p＝2c，
2
∴A(c,2c)．代入双曲线方程，化简，
42
得e－6e＋1＝0. ∵e>1，∴e＝2＋1. ?1?9.?，1? ?2?
2a??解析 设P(x0，y0)，则PF＝e?－x0?＝a－ex0.又点F在AP的垂直平分线上，∴a－ex0?c?
22222aaac－a＋caac－a＋c＝－c，因此x0＝.又－a≤x0＜a，∴－a≤＜a.∴－22
ccc2
e＋e－111≤＜1.又0＜e＜1，∴≤e＜1. 2e222xy
10.＋＝1 1612
2
解析 ∵y＝8x的焦点为(2,0)，
22xy
∴2＋2＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2. mn
12
又e＝＝，∴m＝4.
2m2222
∵c＝m－n＝4，∴n＝12.
9
xy
∴椭圆方程为＋＝1.
1612
11．bc
11
解析 S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝c·|y1|＋c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，
22
11
∴S△ABF2＝c|y1－y2|≤c·2b＝bc.
22
12．2
2
解析 抛物线y＝4x的焦点F(1,0)，准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2. 13．2x－y－15＝0
2222
解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1－4y1＝4，x2－4y2＝4， 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为线段AB的中点为P(8,1)， 所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
y1－y2x1＋x2
所以＝＝2.
x1－x24y1＋y2
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
22
代入x－4y＝4满足Δ>0. 即2x－y－15＝0.
214.
2
b＋c222b3ccc
解析 由题意，得＝3?＋c＝3c－b?b＝c，因此e＝＝ 2＝ 22＝
b22aab＋cc－212＝. 22
15．解 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．
2222xyx0y0
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
369369
∵M是线段PP′的中点， x0＝x，??∴?y
y0＝，?2?
2
2
22
x0＝x??
把?y
y0＝?2?
2
2
，
x0y0xy22
代入＋＝1，得＋＝1，即x＋y＝36.
3693636
22
∴P点的轨迹方程为x＋y＝36.
22xy
16．解 设双曲线方程为2－2＝1.
ab
22xy
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
84
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝3x为双曲线C的一条渐近线， b22
∴＝3，解得a＝1，b＝3， a
2y2
∴双曲线C的方程为x－＝1.
32
17．解 将y＝kx－2代入y＝8x中变形整理得：
9
k2x2
－(4k＋8)x＋4＝0，
由???
k≠0?4k＋2
－16k2
>0
，得k>－1且k≠0. ?
8设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得：x4k＋822
1＋x2＝k
2＝4?k＝k＋2?k－k－2＝0.
解得：k＝2或k＝－1(舍去)． 由弦长公式得：
AB＝1＋k2
·64k＋64192k2
＝5×4
＝215. 18．解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2
.因为PF1⊥PF2，
所以k＝－1，即44
PF1·kPF23＋c·3－c
＝－1，
2解得c＝5，所以设椭圆方程为xy
2a2＋a2－25＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，所以916
a2＋a2－25
＝1.
解得a2＝45或a2
＝5.
又因为a>c，所以a2
＝5舍去．
故所求椭圆方程为x2245＋y
20
＝1.
(2)由椭圆定义知PF1＋PF2＝65，①
又PF222
1＋PF2＝F1F2＝100，② ①2
－②得2PF1·PF2＝80，
所以S1
△PF1F2＝2
PF1·PF2＝20.
19．解 焦点F(p
2
，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥Ox，则AB＝2p<5
2
p，不合题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－p
2)，k≠0.
?由?p?
y＝kx－2，，
??y2＝2px，
消去x整理得ky2
－2py－kp2
＝0.
由韦达定理得，y2p2
1＋y2＝k，y1y2＝－p.
∴AB＝x1－x2
2
2＋y1－y2 ＝ 1＋12
k
2·y1－y2 ＝
1＋12
k2·y1＋y2
－4y1y2
＝2p(1＋15
k2)＝2
p.
解得k＝±2.
9
p
∴AB所在的直线方程为y＝2(x－)或
2
p
y＝－2(x－)．
2
20．解 (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆， 它的短半轴b＝22
－
3
2
＝1，
2
故曲线C的方程为x2
＋y4
＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ?2
联立方程??x2＋y4＝1，??y＝kx＋1.
消去y并整理得(k2＋4)x2
＋2kx－3＝0. 其中Δ＝4k2＋12(k2
＋4)>0恒成立．
故x＋x2k3
12＝－k2＋4，x1x2＝－k2＋4
.
若→OA⊥→
OB，即x1x2＋y1y2＝0.
而y2
1y2＝kx1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x33k22k
2
1x2＋y1y2＝－k2＋4－k2＋4－k2＋4
＋1＝0，
化简得－4k2
＋1＝0，所以k＝±12
.
9
2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程单元检
