高中数学-直线与平面的夹角、二面角及其度量测试题
自我小测
1．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A.
πππ5π B. C. D. 6326
2．已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别沿DE，CE折起，使AE与BE重合，A，B两点重合后记为点P，那么二面角P-CD-E的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
1
3．在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底
2面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为( )
A.
2183 B. 63
C.
210210
D. 6030
4．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
6．AB∥α，AA′⊥α， A′是垂足，BB′是α的一条斜线段，B′为斜足，若AA′＝9，BB′＝63，则直线BB′与平面α所成角的大小为__________．
7．如图所示，将边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD将△ABC折起，若折起后B，C′间距离为，则二面角B-AD-C′的大小为__________．
2
a 1
8．等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．
9．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD1
＝，求SC与平面ABCD所成的角． 2
10．如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
11．正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点．求：
(1)直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值； (2)二面角B′-CD′-A的余弦值．
2
参考答案
1．解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，
→
而BA1＝(0，－1,1)，
1＋23→
∴cos〈BA1，n〉＝＝，
232
→
∴〈BA1，n〉＝30°.∴直线A1B与平面BDE成60°角． 答案：B 2．答案：A
3．解析：以O为原点，射线OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝a，则OP＝
7→?214?a，OD＝?－a，0，a?，可求得平面PBC的法向量为n＝24??4
?
?－1，1，?1??， 7?
→OD·n210→
∴cos〈OD，n〉＝＝，
→30|OD||n|→
设OD与平面PBC所成的角为θ， 则sin θ＝答案：D
4．解析：设AC和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 45°，故cos θ
3
210
，故选D. 30
＝
2
，所以θ＝45°. 2
答案：C
→→→→
5．解析：由条件知，CA·AB＝0，AB·BD＝0， →
CD＝CA→＋AB→＋BD→
.
∴|→CD|2＝|→CA|2＋|→AB|2＋|→BD|2＋2→CA·→AB＋2→AB·→BD＋2→CA·→BD ＝62＋42＋82
＋2×6×8cos〈→CA，→BD〉 ＝(217)2
，
∴cos〈→CA，→
BD〉＝－12，
即〈→CA，→
BD〉＝120°， ∴二面角的大小为60°，故选C. 答案：C 6．答案：60° 7．答案：60° 8．答案：45°
9．解：→
AS是平面ABCD的法向量， 设→CS与→
AS的夹角为φ. ∵→CS＝→CB＋→BA＋→AS，
∴→AS·→CS＝→AS·(→CB＋→BA＋→AS)＝→AS·→
AS＝1. → |AS|＝1，|→CS|＝
→CB＋→BA＋→AS2
＝
|→CB|2＋|→BA|2＋|→ AS|2
＝3，→∴cos φ＝AS·→CS3
|→AS|·|→＝. CS|
3∴φ＝arccos33
. 从而CS与平面ABCD所成的角为π3
2－arccos3
. 10．(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD. 从而BD2
＋AD2
＝AB2
，故BD⊥AD.
4
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD， 所以BD⊥平面PAD. 故PA⊥BD.
(2)解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0,0,1)．
→
AB＝(－1，3，0)，PB→＝(0，3，－1)，BC→
＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， ?则??
n·→AB＝0，
??n·→PB＝0，
即??
－x＋3y＝0，
?
3y－z＝0，
因此可取n＝(3，1，3)．
?设平面PBC的法向量为m，则??
m·→PB＝0，
??m·→BC＝0.
可取m＝(0，－1，－3)，cos〈m，n〉＝－427＝－27
7.
故二面角A - PB - C的余弦值为－27
7.
11．解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，
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